Integrales

a) Sustituyendo, $\frac{2}{x} - \frac{2}{\operatorname{sen} x}$ es de la forma $\infty - \infty$. Restando:$$\lim_{x \to 0}\left(\frac{2}{x} - \frac{2}{\operatorname{sen} x}\right) = \lim_{x \to 0} \frac{2\operatorname{sen} x - 2x}{x\operatorname{sen} x} \quad \left(\frac{0}{0}\right)$$Las funciones son derivables cerca de 0, así que aplico la regla de L'Hôpital:$$= \lim_{x \to 0} \frac{2\cos x - 2}{\operatorname{sen} x + x\cos x} \quad \left(\frac{0}{0}\right)$$Sigue siendo $\frac{0}{0}$; aplico L'Hôpital otra vez:$$= \lim_{x \to 0} \frac{-2\operatorname{sen} x}{\cos x + \cos x - x\operatorname{sen} x} = \frac{0}{2} = 0$$b) $f'(x) = -\dfrac{2}{x^2}$, luego $f'\!\left(\frac12\right) = -\dfrac{2}{1/4} = -8$. El punto $\left(\frac12, 4\right)$ es de la curva, porque $f\!\left(\frac12\right) = 4$. Recta tangente:$$y - 4 = -8\left(x - \frac{1}{2}\right) \;\Longrightarrow\; y = -8x + 8$$c) Puntos de corte de $y = \frac{2}{x}$ con $y = -x + 3$ (con $x \neq 0$):$$\frac{2}{x} = -x + 3 \;\Longrightarrow\; 2 = -x^2 + 3x \;\Longrightarrow\; x^2 - 3x + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; x = 1,\ x = 2$$Los puntos son $(1, 2)$ y $(2, 1)$. Para $x < 0$ no hay más cortes: la hipérbola es negativa y la recta, positiva; así que el único recinto cerrado es el comprendido entre $x = 1$ y $x = 2$.

¿Quién va por encima? En $x = 1{,}5$: la recta vale $1{,}5$ y la hipérbola $\frac{2}{1{,}5} \approx 1{,}33$. La recta va por encima en todo $(1, 2)$ (las dos son continuas ahí y no se cortan en medio). Entonces:$$\text{Área} = \int_1^2 \left(-x + 3 - \frac{2}{x}\right)dx = \left[-\frac{x^2}{2} + 3x - 2\ln x\right]_1^2$$$$= \bigl(-2 + 6 - 2\ln 2\bigr) - \left(-\frac{1}{2} + 3 - 0\right) = 4 - 2\ln 2 - \frac{5}{2} = \frac{3}{2} - 2\ln 2$$$$\text{Área} = \frac{3}{2} - 2\ln 2 \approx 0{,}114 \ \text{u}^2$$Comprobación: es positiva, como debe ser, y pequeña, lo que cuadra con un recinto estrecho (la separación máxima entre las dos curvas es $3 - 2\sqrt{2} \approx 0{,}17$, en $x = \sqrt{2}$, sobre un intervalo de longitud 1).