Matemáticas IIFácilProblema · 2 pts

Integrales

También trata: Límites y continuidad

Comunidad de Madrid · 2017 · Junio · Opción A

Enunciado

Dada la función

f(x) = \dfrac{x^2 + x + 6}{x - 2}

, se pide:

a) (0,5 puntos) Determinar su dominio y asíntotas verticales.

b) (0,5 puntos) Calcular

\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}

.

c) (1 punto) Calcular

\displaystyle\int_3^5 f(x)\,dx

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Resultado

\boxed{\text{a) } \operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R}\setminus\{2\};\ \text{asíntota vertical } x = 2}

\boxed{\text{b) } \lim_{x\to\infty} \frac{f(x)}{x} = 1}

\boxed{\text{c) } \int_3^5 f(x)\,dx = 14 + 12\ln 3 \approx 27{,}18}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es una función racional, así que el dominio es todo

\mathbb{R}

menos donde se anula el denominador. Ese punto es candidato a asíntota vertical, pero hay que confirmarlo con el límite: solo lo es si el numerador no se anula también ahí.

En b) el cociente

f(x)/x

vuelve a ser racional, con numerador y denominador del mismo grado: el límite es el cociente de los coeficientes principales (es la pendiente de la asíntota oblicua).

En c), como el grado del numerador supera al del denominador, primero divido los polinomios: así la función se parte en un polinomio más una fracción con logaritmo como primitiva. Después, regla de Barrow. El intervalo

[3, 5]

no contiene al 2, así que la integral está bien definida.

Desarrollo

a) El denominador se anula en

x = 2

, luego

\operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{2\}

x = 2

el numerador vale

4 + 2 + 6 = 12 \neq 0

, así que el límite es del tipo

\frac{12}{0}

. Los límites laterales:

\lim_{x \to 2^-} \frac{x^2 + x + 6}{x - 2} = \frac{12}{0^-} = -\infty, \qquad \lim_{x \to 2^+} \frac{x^2 + x + 6}{x - 2} = \frac{12}{0^+} = +\infty

Por tanto

x = 2

es asíntota vertical, y es la única, porque

f

es continua en el resto de

\mathbb{R}

.

b)

\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + x + 6}{x(x - 2)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + x + 6}{x^2 - 2x}

Es una indeterminación

\frac{\infty}{\infty}

con numerador y denominador de grado 2; dividiendo ambos por

x^2

\lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x} + \frac{6}{x^2}}{1 - \frac{2}{x}} = \frac{1}{1} = 1

c) Divido

x^2 + x + 6

entre

x - 2

(por Ruffini con el 2: coeficientes

1,\ 1,\ 6

→

1,\ 3

y resto

12

x^2 + x + 6 = (x - 2)(x + 3) + 12 \;\Longrightarrow\; f(x) = x + 3 + \frac{12}{x - 2}

Una primitiva (en

[3, 5]

x - 2 > 0

, así que el valor absoluto del logaritmo no molesta):

F(x) = \frac{x^2}{2} + 3x + 12\ln|x - 2|

Regla de Barrow:

\int_3^5 f(x)\,dx = F(5) - F(3) = \left(\frac{25}{2} + 15 + 12\ln 3\right) - \left(\frac{9}{2} + 9 + 12\ln 1\right) = 8 + 6 + 12\ln 3

\int_3^5 f(x)\,dx = 14 + 12\ln 3 \approx 27{,}18

Comprobación de la primitiva:

F'(x) = x + 3 + \frac{12}{x - 2} = f(x)

✓. Y el orden de magnitud cuadra: en

[3, 5]

la función va de

f(3) = 18

f(5) = 12

, pasando por

f(4) = 13

, así que el área sobre un intervalo de longitud 2 tiene que estar entre 24 y 36.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Que el denominador se anule no basta para afirmar que hay asíntota vertical: calcula el límite (y mejor los laterales). Si el numerador también se anulara, podría ser una discontinuidad evitable. La corrección exige justificarlo «con el cálculo del límite».

En una integral racional con el grado de arriba mayor o igual que el de abajo, divide antes de nada: intentar integrar el cociente tal cual no lleva a ninguna parte.

Paso 1 de 3

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Integrales

Ejercicio 3.2 (bloque con optatividad 1). Considera la función