Matemáticas IIFácilProblema · 2 pts

Derivadas y aplicaciones

Comunidad de Madrid · 2017 · Junio · Opción A

Enunciado

Se administra una medicina a un enfermo y

t

horas después la concentración en sangre del principio activo viene dada por

c(t) = te^{-t/2}

miligramos por mililitro. Determine el valor máximo de

c(t)

e indique en qué momento se alcanza dicho valor máximo. Sabiendo que la máxima concentración sin peligro es de 1 mg/ml, señale si en algún momento hay riesgo para el paciente.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{Máximo a las } t = 2 \text{ horas: } c(2) = \dfrac{2}{e} \approx 0{,}736 \text{ mg/ml}}

\boxed{\dfrac{2}{e} < 1 \;\Rightarrow\; \text{no hay riesgo en ningún momento}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La función ya viene dada, así que se trata de buscar su máximo absoluto en

[0, +\infty)

(el tiempo no puede ser negativo). Derivo, busco dónde se anula la derivada y estudio su signo: si la función crece hasta ese punto y decrece a partir de él, el máximo relativo es también el absoluto, y no hace falta nada más.

Con el valor máximo en la mano, la pregunta del riesgo se contesta comparándolo con 1 mg/ml: si ni siquiera el máximo llega a 1, la concentración no lo supera nunca.

Desarrollo

Derivada. El dominio que tiene sentido es

t \geq 0

. Por la regla del producto y la de la cadena:

c'(t) = e^{-t/2} + t \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)e^{-t/2} = e^{-t/2}\left(1 - \frac{t}{2}\right) = \frac{(2 - t)\,e^{-t/2}}{2}

Puntos críticos. Como

e^{-t/2} > 0

siempre:

c'(t) = 0 \iff 2 - t = 0 \iff t = 2

Signo de la derivada. El signo de

c'(t)

es el de

2 - t

Si $0 \leq t < 2$ : $c'(t) > 0$ , la concentración crece.
Si $t > 2$ : $c'(t) < 0$ , la concentración decrece.

Así que en

t = 2

hay un máximo relativo y, como la función crece en todo

[0, 2)

y decrece en todo

(2, +\infty)

, es el máximo absoluto en

[0, +\infty)

. Su valor:

c(2) = 2e^{-1} = \frac{2}{e} \approx 0{,}736 \ \text{mg/ml}

Riesgo. Para todo

t \geq 0

se cumple

c(t) \leq c(2) = \frac{2}{e} \approx 0{,}736 < 1

así que la concentración nunca alcanza 1 mg/ml: no hay riesgo para el paciente en ningún momento. (Además,

c(0) = 0

c(t) \to 0

cuando

t \to +\infty

, porque la exponencial decreciente se impone al factor

t

: el fármaco se va eliminando.)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Un punto donde se anula la derivada no es automáticamente un máximo: justifícalo con el signo de $c'(t)$ a ambos lados (o con la segunda derivada). Y como lo que se pregunta es si «en algún momento» hay riesgo, necesitas que sea el máximo absoluto, no solo relativo.

Termina respondiendo con palabras a las dos preguntas: a qué hora y con qué valor, y si hay riesgo. La interpretación vale medio punto.