Rectas y planos

a) Vectores con origen en $P$:$$\overrightarrow{PQ} = Q - P = (-5,\ 2,\ 0), \qquad \overrightarrow{PR} = R - P = (-4,\ 3,\ 1)$$No son proporcionales, así que $P$, $Q$ y $R$ no están alineados y determinan un único plano. Su vector normal:$$\vec{n} = \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -5 & 2 & 0 \\ -4 & 3 & 1 \end{vmatrix} = (2 - 0)\,\vec{i} - (-5 - 0)\,\vec{j} + (-15 + 8)\,\vec{k} = (2,\ 5,\ -7)$$Plano por $P(1, -2, 1)$ con esa normal:$$2(x - 1) + 5(y + 2) - 7(z - 1) = 0 \;\Longrightarrow\; \pi \equiv 2x + 5y - 7z + 15 = 0$$Comprobación: $Q$: $-8 + 0 - 7 + 15 = 0$ ✓; $R$: $-6 + 5 - 14 + 15 = 0$ ✓.

b) Directores de las dos rectas:$$\vec{v}_r = \overrightarrow{PQ} = (-5,\ 2,\ 0), \qquad \vec{v}_s = \overrightarrow{RS} = S - R = (3,\ -4,\ -2)$$No son proporcionales ($\frac{-5}{3} \neq \frac{2}{-4}$), así que las rectas no son paralelas ni coincidentes: o se cortan o se cruzan.

Para decidirlo miro si $S$ está en el plano $\pi$ que contiene a $P$, $Q$ y $R$:$$2 \cdot 0 + 5 \cdot (-3) - 7 \cdot 0 + 15 = 0 \quad ✓$$Los cuatro puntos son coplanarios: $r$ y $s$ están en el mismo plano y, como no son paralelas, se cortan. (Equivale a que el producto mixto $\bigl[\vec{v}_r, \vec{v}_s, \overrightarrow{PR}\bigr] = \vec{n}\cdot\vec{v}_s = 6 - 20 + 14 = 0$.)

El enunciado no pide el punto de corte, pero se obtiene enseguida. En paramétricas:$$r \equiv (1 - 5t,\ -2 + 2t,\ 1), \qquad s \equiv (-3 + 3u,\ 1 - 4u,\ 2 - 2u)$$De la tercera coordenada, $1 = 2 - 2u$, luego $u = \frac12$ y el punto de $s$ es $\left(-\frac32,\ -1,\ 1\right)$. En $r$: $-2 + 2t = -1$ da $t = \frac12$ y $x = 1 - \frac52 = -\frac32$ ✓. Se cortan en $\left(-\frac32,\ -1,\ 1\right)$.

c) El área del triángulo es la mitad del módulo del producto vectorial ya calculado:$$\text{Área} = \frac{1}{2}\left|\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}\right| = \frac{1}{2}\sqrt{2^2 + 5^2 + (-7)^2} = \frac{\sqrt{78}}{2} \approx 4{,}42 \ \text{u}^2$$