Sistemas de ecuaciones

a) Matriz de coeficientes y matriz ampliada:$$A = \begin{pmatrix} 2 & a & 1 \\ 1 & -4 & a+1 \\ 0 & 4 & -a \end{pmatrix}, \qquad A^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & a & 1 & a \\ 1 & -4 & a+1 & 1 \\ 0 & 4 & -a & 0 \end{array}\right)$$Desarrollando $|A|$ por la primera columna:$$|A| = 2\begin{vmatrix} -4 & a+1 \\ 4 & -a \end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix} a & 1 \\ 4 & -a \end{vmatrix} = 2\bigl(4a - 4a - 4\bigr) - \bigl(-a^2 - 4\bigr) = -8 + a^2 + 4 = a^2 - 4$$$$|A| = 0 \iff a^2 = 4 \iff a = 2 \ \text{ o } \ a = -2$$Caso $a \neq 2$ y $a \neq -2$. $|A| \neq 0$, así que $\operatorname{rg}(A) = 3 = \operatorname{rg}(A^{*}) =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $a = 2$.$$A^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & -4 & 3 & 1 \\ 0 & 4 & -2 & 0 \end{array}\right)$$El menor $\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} = -10 \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = 2$. Para la ampliada orlo ese menor con la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 1 & -4 & 1 \\ 0 & 4 & 0 \end{vmatrix} = -4\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -4 \cdot 0 = 0$$(desarrollado por la tercera fila). Es el único menor de orden 3 que contiene al menor no nulo y no es $|A|$, así que $\operatorname{rg}(A^{*}) = 2$. Como $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^{*}) = 2 < 3$: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, con un parámetro).

Caso $a = -2$.$$A^{*} = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -4 & -1 & 1 \\ 0 & 4 & 2 & 0 \end{array}\right)$$De nuevo $\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} = -6 \neq 0$, así que $\operatorname{rg}(A) = 2$. Orlando con la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 2 & -2 & -2 \\ 1 & -4 & 1 \\ 0 & 4 & 0 \end{vmatrix} = -4\begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -4 \cdot 4 = -16 \neq 0$$luego $\operatorname{rg}(A^{*}) = 3 \neq \operatorname{rg}(A) = 2$: sistema incompatible.

Se ve también directamente: con $a = -2$, la tercera ecuación da $z = -2y$; la primera, $2x - 2y - 2y = -2$, o sea $x = 2y - 1$; y al llevarlo a la segunda queda $(2y - 1) - 4y + 2y = -1 \neq 1$, una contradicción.

b) Con $a = 1$ el sistema es compatible determinado:$$\left\{\begin{array}{l} 2x + y + z = 1 \\ x - 4y + 2z = 1 \\ 4y - z = 0 \end{array}\right.$$De la tercera, $z = 4y$. Sustituyendo en las otras dos:$$2x + 5y = 1, \qquad x + 4y = 1 \;\Longrightarrow\; x = 1 - 4y \;\Longrightarrow\; 2 - 8y + 5y = 1 \;\Longrightarrow\; y = \frac{1}{3}$$y entonces $x = 1 - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$, $z = \frac{4}{3}$.

Comprobación: $2\left(-\frac13\right) + \frac13 + \frac43 = \frac{-2 + 1 + 4}{3} = 1$ ✓; $-\frac13 - \frac43 + \frac83 = 1$ ✓; $\frac43 - \frac43 = 0$ ✓.

c) Con $a = 2$ el sistema es compatible indeterminado. Como $\operatorname{rg} = 2$, sobra una ecuación; me quedo con la primera y la tercera (que contienen al menor no nulo de las filas 1 y 3, $\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = -4 \neq 0$ en las columnas de $x$ y $z$):$$\left\{\begin{array}{l} 2x + 2y + z = 2 \\ 4y - 2z = 0 \end{array}\right.$$Tomando $y = \lambda$: de la segunda, $z = 2\lambda$; de la primera, $2x = 2 - 2\lambda - 2\lambda$, es decir, $x = 1 - 2\lambda$.

Comprobación en la ecuación que no he usado: $(1 - 2\lambda) - 4\lambda + 3(2\lambda) = 1$ ✓ para todo $\lambda$.