Matemáticas IIFácilProblema · 2 pts

Vectores y ángulos

Comunidad de Madrid · 2017 · Septiembre · Opción B

Enunciado

Se considera el triángulo cuyos vértices son los puntos

A(1, 3, -1)

B(3, 1, 0)

C(2, 5, 1)

y se pide:

a) (1 punto) Determinar razonadamente si el triángulo es equilátero, isósceles o escaleno.

b) (1 punto) Obtener las medidas de sus tres ángulos.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) Isósceles: } |AB| = |AC| = 3,\ |BC| = 3\sqrt{2}}

\boxed{\text{b) } \hat{A} = 90^\circ,\quad \hat{B} = 45^\circ,\quad \hat{C} = 45^\circ}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) basta con medir los tres lados: son los módulos de los vectores que unen cada par de vértices. Si los tres son iguales, equilátero; si dos lo son, isósceles; si no, escaleno.

En b), el ángulo en cada vértice es el ángulo entre los dos vectores que salen de ese vértice, y se obtiene con el producto escalar:

\cos\alpha = \dfrac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{|\vec{v}|\,|\vec{w}|}

. Al final, los tres ángulos deben sumar

180^\circ

Desarrollo

a) Los vectores de los lados:

\overrightarrow{AB} = (2, -2, 1), \qquad \overrightarrow{AC} = (1, 2, 2), \qquad \overrightarrow{BC} = (-1, 4, 1)

y sus módulos:

|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3, \qquad |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3, \qquad |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{1 + 16 + 1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}

Dos lados miden 3 y el tercero

3\sqrt{2} \neq 3

: el triángulo es isósceles (no equilátero), con los lados iguales

AB

AC

y la base

BC

.

b) Ángulo en $A$ , entre

\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{AC}

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 2 - 4 + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; \cos\hat{A} = 0 \;\Longrightarrow\; \hat{A} = 90^\circ

El triángulo es rectángulo en $A$ (de hecho,

3^2 + 3^2 = 18 = (3\sqrt{2})^2

, Pitágoras ✓).

Ángulo en $B$ , entre

\overrightarrow{BA} = (-2, 2, -1)

\overrightarrow{BC} = (-1, 4, 1)

\cos\hat{B} = \frac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}|\,|\overrightarrow{BC}|} = \frac{2 + 8 - 1}{3\cdot 3\sqrt{2}} = \frac{9}{9\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \;\Longrightarrow\; \hat{B} = 45^\circ

Ángulo en $C$ , entre

\overrightarrow{CA} = (-1, -2, -2)

\overrightarrow{CB} = (1, -4, -1)

\cos\hat{C} = \frac{-1 + 8 + 2}{3\cdot 3\sqrt{2}} = \frac{9}{9\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \;\Longrightarrow\; \hat{C} = 45^\circ

Comprobación.

90^\circ + 45^\circ + 45^\circ = 180^\circ

✓, y los ángulos iguales (

\hat{B}

\hat{C}

) están opuestos a los lados iguales (

AC

AB

), como debe pasar en un isósceles ✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Para el ángulo de un vértice, los dos vectores tienen que salir de ese vértice. Si usas $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{BC}$ para el ángulo en $B$ , obtienes el suplementario ( $135^\circ$ en vez de $45^\circ$ ).

Al clasificar, di que es isósceles y rectángulo: el producto escalar nulo en $A$ es un dato que la corrección agradece ver justificado.