Matemáticas IIFácilProblema · 2 pts

Áreas, volúmenes y distancias

También trata: Rectas y planos

Comunidad de Madrid · 2017 · Septiembre · Opción B

Enunciado

Sea

r

la recta que pasa por los puntos

P_1(3, 2, 0)

P_2(7, 0, 2)

. Se pide:

a) (1 punto) Hallar la distancia del punto

Q(3, 5, -3)

a la recta

r

.

b) (1 punto) Hallar el punto de corte de la recta

r

con el plano perpendicular a

r

que pasa por el punto

Q

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } d(Q, r) = 2\sqrt{3} \approx 3{,}464}

\boxed{\text{b) } \pi \equiv 2x - y + z + 2 = 0,\quad r \cap \pi = (1,\ 3,\ -1)}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La recta viene dada por dos puntos: su director es

\overrightarrow{P_1P_2}

y podemos usar

P_1

como punto.

En a), la distancia de un punto a una recta es el área del paralelogramo que forman

\vec{u}

\overrightarrow{P_1Q}

dividida entre la base,

|\vec{u}|

d = \dfrac{|\vec{u}\times\overrightarrow{P_1Q}|}{|\vec{u}|}

.

En b), el plano perpendicular a

r

tiene como vector normal el director de

r

, y pasa por

Q

. Su corte con

r

es la proyección ortogonal de

Q

sobre

r

, es decir, el punto de

r

más cercano a

Q

. Por eso sirve de comprobación del apartado a): la distancia de

Q

a ese punto tiene que ser la misma.

Desarrollo

Datos de la recta.

\overrightarrow{P_1P_2} = (7-3,\ 0-2,\ 2-0) = (4, -2, 2)

; simplificando,

\vec{u} = (2, -1, 1)

. En paramétricas:

r \equiv \left\{\begin{array}{l} x = 3 + 2t \\ y = 2 - t \\ z = t \end{array}\right. \qquad t \in \mathbb{R}

a) Con

\overrightarrow{P_1Q} = (3-3,\ 5-2,\ -3-0) = (0, 3, -3)

\vec{u}\times\overrightarrow{P_1Q} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -3 \end{vmatrix} = (3 - 3,\ 0 + 6,\ 6 - 0) = (0, 6, 6)

|\vec{u}\times\overrightarrow{P_1Q}| = \sqrt{0 + 36 + 36} = 6\sqrt{2}, \qquad |\vec{u}| = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}

d(Q, r) = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}464

b) El plano perpendicular a

r

tiene normal

\vec{u} = (2, -1, 1)

\pi \equiv 2x - y + z + D = 0

Como pasa por

Q(3, 5, -3)

6 - 5 - 3 + D = 0

, así que

D = 2

\pi \equiv 2x - y + z + 2 = 0

Sustituyendo las paramétricas de

r

\pi

2(3 + 2t) - (2 - t) + t + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; 6 + 4t - 2 + t + t + 2 = 0 \;\Longrightarrow\; 6t + 6 = 0 \;\Longrightarrow\; t = -1

El punto de corte es

M = (3 - 2,\ 2 + 1,\ -1) = (1, 3, -1)

.

Comprobaciones.

$M$ está en $\pi$ : $2 - 3 - 1 + 2 = 0$ ✓.
$\overrightarrow{QM} = (1-3,\ 3-5,\ -1+3) = (-2, -2, 2)$ es perpendicular a $r$ : $\overrightarrow{QM}\cdot\vec{u} = -4 + 2 + 2 = 0$ ✓.
$|\overrightarrow{QM}| = \sqrt{4 + 4 + 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ , que coincide con la distancia del apartado a) ✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En la fórmula de la distancia, el vector que se multiplica por $\vec{u}$ es el que va de un punto de la recta a $Q$ , no el director ni las coordenadas de $Q$ a secas.

El punto de b) es la proyección de $Q$ sobre $r$ : calcula $|\overrightarrow{QM}|$ y comprueba que sale la distancia de a). Es una comprobación gratis que caza casi cualquier error de cuenta.