Derivadas y aplicaciones

Derivada. Por la regla del cociente, con $(e^{-x})' = -e^{-x}$:$$f'(x) = \frac{-e^{-x}(x^2+1) - e^{-x}\cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-e^{-x}\,(x^2 + 2x + 1)}{(x^2+1)^2} = -\frac{e^{-x}\,(x+1)^2}{(x^2+1)^2}$$a) $f(0) = \dfrac{e^{0}}{1} = 1$ y $f'(0) = -\dfrac{1\cdot 1}{1} = -1$. La tangente es$$y - f(0) = f'(0)\,(x - 0) \;\Longrightarrow\; y - 1 = -x \;\Longrightarrow\; y = -x + 1$$b) Asíntotas verticales. $x^2 + 1 \geq 1 > 0$ para todo $x$, así que el dominio es $\mathbb{R}$ y $f$ es continua en todo él (cociente de funciones continuas con denominador no nulo). Una asíntota vertical $x = a$ exigiría un límite infinito en $a$, y eso no ocurre en ningún punto: no hay asíntotas verticales.

Asíntotas horizontales. En $+\infty$, el numerador tiende a $0$ y el denominador a $+\infty$:$$\lim_{x\to+\infty} \frac{e^{-x}}{x^2+1} = \frac{0}{+\infty} = 0$$luego $y = 0$ es asíntota horizontal en $+\infty$.

En $-\infty$, numerador y denominador tienden a $+\infty$; aplicando L'Hôpital dos veces:$$\lim_{x\to-\infty} \frac{e^{-x}}{x^2+1} \;\left[\frac{\infty}{\infty}\right] = \lim_{x\to-\infty} \frac{-e^{-x}}{2x} \;\left[\frac{-\infty}{-\infty}\right] = \lim_{x\to-\infty} \frac{e^{-x}}{2} = +\infty$$así que no hay asíntota horizontal en $-\infty$: la exponencial crece más deprisa que cualquier polinomio. La única asíntota horizontal es $y = 0$, y solo por la derecha.

c) En $f'(x) = -\dfrac{e^{-x}(x+1)^2}{(x^2+1)^2}$:

• $e^{-x} > 0$ siempre,
• $(x+1)^2 \geq 0$, y solo se anula en $x = -1$,
• $(x^2+1)^2 > 0$ siempre.

Por tanto $f'(x) < 0$ para todo $x \neq -1$ y $f'(-1) = 0$.La función es decreciente en $(-\infty, -1)$ y en $(-1, +\infty)$, y como es continua en $x = -1$, es estrictamente decreciente en todo $\mathbb{R}$. No tiene intervalos de crecimiento.

El único punto crítico es $x = -1$, pero $f'$ no cambia de signo al atravesarlo: no es máximo ni mínimo, así que $f$ no tiene extremos relativos. En $x = -1$ la tangente es horizontal, $y = f(-1) = \dfrac{e}{2}$, pero la función sigue bajando a ambos lados.

Comprobación numérica. $f(-2) = e^{2}/5 \approx 1{,}478$, $f(-1) = e/2 \approx 1{,}359$, $f(0) = 1$: van bajando ✓.