Matemáticas IIFácilProblema · 3 pts

Matrices

Comunidad de Madrid · 2017 · Septiembre · Opción B

Enunciado

Dada la matriz

A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

y la matriz identidad

I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

, se pide:

a) (0,5 puntos) Calcular la matriz

B = (A - I)(2I + 2A)

.

b) (1,5 puntos) Determinar el rango de las matrices

A - I

A^2 - I

A^3 - I

.

c) (1 punto) Calcular la matriz inversa de

A^6

, en caso de que exista.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } B = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}}

\boxed{\text{b) } \operatorname{rg}(A-I) = 2,\ \operatorname{rg}(A^2-I) = 1,\ \operatorname{rg}(A^3-I) = 2}

\boxed{\text{c) } (A^6)^{-1} = \begin{pmatrix} 1/64 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La matriz

A

es muy sencilla: deja quieta la primera coordenada multiplicándola por 2 e intercambia las otras dos. Intercambiar dos veces deja todo como estaba, así que

A^2

va a ser diagonal. Esa observación hace casi todo el trabajo.

En a) se calcula directamente

A - I

2I + 2A

y se multiplican (o se usa que

A

I

conmutan:

B = 2(A - I)(A + I) = 2(A^2 - I)

).

En b) se calculan

A^2

A^3

y, para cada matriz, se cuentan las filas linealmente independientes.

En c) se aprovecha que

A^2

es diagonal:

A^6 = (A^2)^3

es diagonal y su inversa se obtiene invirtiendo cada elemento de la diagonal.

Desarrollo

A - I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad 2I + 2A = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & -2+2 & -2+2 \\ 0 & 2-2 & 2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Comprobación: como

A

I

conmutan,

B = 2(A - I)(A + I) = 2(A^2 - I)

, y con el

A^2

del apartado siguiente sale lo mismo ✓.

b) Potencias de

A

A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A^3 = A^2 A = \begin{pmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

$A - I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ : la tercera fila es la segunda cambiada de signo, así que $|A - I| = 0$ ; pero el menor $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$ . Rango 2.
$A^2 - I = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ : dos filas nulas y una no nula. Rango 1.
$A^3 - I = \begin{pmatrix} 7 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$ : de nuevo la tercera fila es la opuesta de la segunda ( $|A^3 - I| = 0$ ) y el menor $\begin{vmatrix} 7 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -7 \neq 0$ . Rango 2.

c) Existe la inversa porque

|A| = 2\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 2\cdot(-1) = -2 \neq 0

, y entonces

|A^6| = |A|^6 = 64 \neq 0

.

Como

A^2

es diagonal,

A^6 = (A^2)^3 = \begin{pmatrix} 4^3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 64 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

y la inversa de una matriz diagonal con la diagonal sin ceros es la diagonal de los inversos:

(A^6)^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{64} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Comprobación:

A^6\,(A^6)^{-1} = \begin{pmatrix} 64\cdot\frac{1}{64} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Antes de lanzarte a multiplicar seis veces, calcula $A^2$ : si sale algo sencillo (diagonal, la identidad, un múltiplo de $I$ ), las potencias altas salen solas.

Al dar un rango, justifícalo: un determinante nulo solo dice que el rango es menor que 3; hay que encontrar además un menor de orden 2 no nulo para asegurar que es 2.