Matemáticas IIFácilProblema · 2 pts

Probabilidad

Comunidad de Madrid · 2017 · Septiembre · Opción A

Enunciado

Dados dos sucesos,

A

B

, de un experimento aleatorio, con probabilidades tales que

p(A) = \dfrac{4}{9}

p(B) = \dfrac{1}{2}

p(A\cup B) = \dfrac{2}{3}

, se pide:

a) (1 punto) Comprobar si los sucesos

A

B

son independientes o no.

b) (1 punto) Calcular

p(\bar{A}\,|\,B)

, donde

\bar{A}

denota el suceso complementario de

A

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } p(A\cap B) = \tfrac{5}{18} \neq \tfrac{2}{9} = p(A)\,p(B):\ \text{no son independientes}}

\boxed{\text{b) } p(\bar{A}\,|\,B) = \frac{4}{9}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Todo gira en torno a

p(A\cap B)

, que no nos dan pero sale de la fórmula de la probabilidad de la unión.

En a), dos sucesos son independientes cuando

p(A\cap B) = p(A)\,p(B)

: basta con calcular los dos lados y compararlos.

En b), se aplica la definición de probabilidad condicionada. Lo único que hace falta es

p(\bar{A}\cap B)

, que es la parte de

B

que queda fuera de

A

p(B) - p(A\cap B)

Desarrollo

Intersección. De

p(A\cup B) = p(A) + p(B) - p(A\cap B)

p(A\cap B) = p(A) + p(B) - p(A\cup B) = \frac{4}{9} + \frac{1}{2} - \frac{2}{3} = \frac{8 + 9 - 12}{18} = \frac{5}{18}

a) El producto de las probabilidades:

p(A)\cdot p(B) = \frac{4}{9}\cdot\frac{1}{2} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}

Como

p(A\cap B) = \dfrac{5}{18} \neq \dfrac{4}{18} = p(A)\,p(B)

, los sucesos $A$ y $B$ no son independientes.

Dicho de otra forma:

p(A\,|\,B) = \dfrac{5/18}{1/2} = \dfrac{5}{9}

, que no coincide con

p(A) = \dfrac{4}{9}

. Saber que ha ocurrido

B

cambia (aumenta) la probabilidad de

A

.

b)

B

se parte en lo que está dentro de

A

y lo que está fuera, así que

p(\bar{A}\cap B) = p(B) - p(A\cap B) = \frac{1}{2} - \frac{5}{18} = \frac{9 - 5}{18} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}

p(\bar{A}\,|\,B) = \frac{p(\bar{A}\cap B)}{p(B)} = \frac{2/9}{1/2} = \frac{4}{9}

Comprobación. Dentro de

B

, o pasa

A

o pasa

\bar{A}

p(A\,|\,B) + p(\bar{A}\,|\,B) = \dfrac{5}{9} + \dfrac{4}{9} = 1

✓.

En la simulación, el árbol empieza por

B

(la partición es

B

\bar{B}

) y en la segunda rama está

A

; con

p(A\,|\,\bar{B}) = \dfrac{p(A) - p(A\cap B)}{p(\bar{B})} = \dfrac{3/18}{1/2} = \dfrac{1}{3}

. La pregunta resaltada es «no

A

» sabiendo

B

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No confundas independientes con incompatibles: incompatibles significa $p(A\cap B) = 0$ , e independientes, $p(A\cap B) = p(A)\,p(B)$ . Aquí no son ninguna de las dos cosas.

En b), $p(\bar{A}\,|\,B)$ no es $1 - p(A)$ ni $1 - p(A\,|\,\bar{B})$ : el complemento se toma dentro de la misma condición, $p(\bar{A}\,|\,B) = 1 - p(A\,|\,B)$ .