Se dispone de tres aleaciones A, B y C que contienen, entre otros metales, oro y plata en las proporciones indicadas en la tabla adjunta. | | Oro (%) | Plata (%) | |---|---|---| | A | 100 | 0 | | B | 75 | 15 | | C | 60 | 22 | Se quiere obtener un lingote de 25 gramos, con una proporción del 72 % de oro y una proporción del 16 % de plata, tomando x gramos de A, y gramos de B y z gramos de C. Determínense las cantidades x, y, z.

Matemáticas IIFácilProblema · 2 pts

Sistemas de ecuaciones

Comunidad de Madrid · 2017 · Septiembre · Opción A

Enunciado

Se dispone de tres aleaciones A, B y C que contienen, entre otros metales, oro y plata en las proporciones indicadas en la tabla adjunta.

	Oro (%)	Plata (%)
A	100	0
B	75	15
C	60	22

Se quiere obtener un lingote de 25 gramos, con una proporción del 72 % de oro y una proporción del 16 % de plata, tomando

x

gramos de A,

y

gramos de B y

z

gramos de C. Determínense las cantidades

x

y

z

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Resultado

\boxed{x = 3 \text{ g de A}, \quad y = 12 \text{ g de B}, \quad z = 10 \text{ g de C}}

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Estrategia

Hay tres incógnitas y el enunciado da tres condiciones: la masa total del lingote, los gramos de oro que debe llevar y los gramos de plata. Cada condición es una ecuación lineal, así que se plantea un sistema

3\times 3

.

La clave es traducir los porcentajes a gramos: el 72 % de 25 g son 18 g de oro, y ese oro sale del 100 % de

x

, del 75 % de

y

y del 60 % de

z

. Igual con la plata. Para trabajar sin decimales, se multiplican las ecuaciones por 100 (y se simplifican). Después, Gauss (o Cramer) y comprobación.

Desarrollo

Planteamiento.

Masa total: $x + y + z = 25$ .
Oro: el lingote lleva el 72 % de 25 g, es decir, $0{,}72\cdot 25 = 18$ g. Por tanto $x + 0{,}75\,y + 0{,}6\,z = 18$ .
Plata: el 16 % de 25 g son $0{,}16\cdot 25 = 4$ g. Por tanto $0{,}15\,y + 0{,}22\,z = 4$ .

Multiplicando la segunda por 100 y dividiendo entre 5, y la tercera por 100:

\left\{\begin{array}{l} x + y + z = 25 \\ 20x + 15y + 12z = 360 \\ 15y + 22z = 400 \end{array}\right.

El determinante de la matriz de coeficientes es

\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 20 & 15 & 12 \\ 0 & 15 & 22 \end{vmatrix} = 1(330 - 180) - 1(440 - 0) + 1(300 - 0) = 150 - 440 + 300 = 10 \neq 0,

así que, por Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado: hay una única forma de hacer el lingote.

Resolución por Gauss. Se cambia la segunda fila por

F_2 - 20F_1

\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 25 \\ 0 & -5 & -8 & -140 \\ 0 & 15 & 22 & 400 \end{array}\right) \xrightarrow{F_3 + 3F_2} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 25 \\ 0 & -5 & -8 & -140 \\ 0 & 0 & -2 & -20 \end{array}\right)

De abajo arriba:

-2z = -20 \;\Rightarrow\; z = 10, \qquad -5y - 80 = -140 \;\Rightarrow\; y = 12, \qquad x = 25 - 12 - 10 = 3

Comprobación.

Masa: $3 + 12 + 10 = 25$ g ✓.
Oro: $3 + 0{,}75\cdot 12 + 0{,}6\cdot 10 = 3 + 9 + 6 = 18$ g, que es el 72 % de 25 ✓.
Plata: $0{,}15\cdot 12 + 0{,}22\cdot 10 = 1{,}8 + 2{,}2 = 4$ g, que es el 16 % de 25 ✓.

Además, las tres cantidades son positivas, así que la solución tiene sentido.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El error típico es igualar porcentajes en vez de gramos: escribir $x + 0{,}75y + 0{,}6z = 72$ mezcla un porcentaje con masas. Pasa siempre a gramos: el 72 % de 25 g son 18 g de oro.

La mitad de la nota es el planteamiento, así que explica de dónde sale cada ecuación. Y comprueba al final que las cantidades son positivas y que suman 25.