Rectas y planos

Datos de $r_1$. Normales $\vec{n}_1 = (6, -1, -1)$ y $\vec{n}_2 = (2, -1, 1)$:$$\vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 6 & -1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (-1-1,\ -2-6,\ -6+2) = (-2, -8, -4)$$Tomamos $\vec{u} = (1, 4, 2)$. Para un punto, con $x = 0$: $-y - z = 1$ y $-y + z = 1$; restando, $-2z = 0$, así que $z = 0$, $y = -1$. Punto $A(0, -1, 0)$. Comprobación: $0 + 1 - 0 = 1$ ✓ y $0 + 1 + 0 = 1$ ✓.

Datos de $r_2$. Normales $(3, -5, -2)$ y $(3, 1, 4)$:$$\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -5 & -2 \\ 3 & 1 & 4 \end{vmatrix} = (-20+2,\ -6-12,\ 3+15) = (-18, -18, 18)$$Tomamos $\vec{v} = (1, 1, -1)$. Con $y = z = 0$ las dos ecuaciones dan $3x = 3$, así que $B(1, 0, 0)$ (y cumple las dos ✓).

a) $\vec{u} = (1, 4, 2)$ y $\vec{v} = (1, 1, -1)$ no son proporcionales ($\frac{1}{1} \neq \frac{4}{1}$): las rectas no son paralelas ni coincidentes. Con $\overrightarrow{AB} = (1, 1, 0)$:$$\bigl[\vec{u},\ \vec{v},\ \overrightarrow{AB}\bigr] = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 1(0+1) - 4(0+1) + 2(1-1) = 1 - 4 + 0 = -3 \neq 0$$Los tres vectores no son coplanarios, luego las rectas se cruzan.

(Equivalente: el sistema de las cuatro ecuaciones tiene matriz de coeficientes de rango 3 y ampliada de rango 4, porque su determinante $4\times 4$ no se anula.)

b) El producto vectorial de los directores:$$\vec{u}\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = (-4-2,\ 2+1,\ 1-4) = (-6, 3, -3), \qquad |\vec{u}\times\vec{v}| = \sqrt{36+9+9} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$$$$d(r_1, r_2) = \frac{\bigl|[\vec{u},\ \vec{v},\ \overrightarrow{AB}]\bigr|}{|\vec{u}\times\vec{v}|} = \frac{3}{3\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6} \approx 0{,}408$$c) Primero, $P(1, 2, 3)$ no está en $r_1$: cumple la primera ecuación, $6 - 2 - 3 = 1$, pero no la segunda, $2 - 2 + 3 = 3 \neq 1$. Por tanto hay un único plano que contiene a $r_1$ y a $P$.

Ese plano pasa por $A(0,-1,0)$ y tiene las direcciones $\vec{u} = (1,4,2)$ y $\overrightarrow{AP} = (1, 3, 3)$. Su normal:$$\vec{u}\times\overrightarrow{AP} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 4 & 2 \\ 1 & 3 & 3 \end{vmatrix} = (12-6,\ 2-3,\ 3-4) = (6, -1, -1)$$$$6(x - 0) - (y + 1) - (z - 0) = 0 \;\Longrightarrow\; 6x - y - z - 1 = 0$$Es justo el primer plano que define $r_1$: como $P$ ya estaba en él, el plano pedido es ese mismo.

Comprobación con el haz de planos. Los planos que contienen a $r_1$ son $(6x - y - z - 1) + \lambda(2x - y + z - 1) = 0$. En $P$: $0 + \lambda\cdot 2 = 0$, así que $\lambda = 0$ y queda $6x - y - z - 1 = 0$ ✓.