Integrales

a) Sustituimos $x = 0$ y $x = 1$ en cada curva:Son las cuatro esquinas del recinto: $(0, 1)$, $(1, e)$, $(0, 0)$ y $(1, -1)$.

b) Qué curva va por encima. Para todo $x$, $e^x > 0$ y $-x^2 \le 0$, así que$$e^x > -x^2 \quad \text{para todo } x \in [0, 1]$$Las curvas no se cortan en el intervalo y $y = e^x$ va siempre por encima. El recinto queda encerrado entre la exponencial (arriba, de $(0, 1)$ a $(1, e)$), la parábola (abajo, de $(0, 0)$ a $(1, -1)$) y los segmentos verticales $x = 0$ y $x = 1$.

Área.$$\text{Área} = \int_0^1 \bigl(e^x - (-x^2)\bigr)\,dx = \int_0^1 \bigl(e^x + x^2\bigr)\,dx$$Una primitiva es $e^x + \dfrac{x^3}{3}$. Por la regla de Barrow:$$\text{Área} = \left[e^x + \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \left(e + \frac{1}{3}\right) - (1 + 0) = e - \frac{2}{3} \approx 2{,}05\ \text{u}^2$$Comprobación de sentido. El recinto mide 1 de ancho y su altura va de $1 - 0 = 1$ (en $x = 0$) a $e - (-1) = e + 1 \approx 3{,}72$ (en $x = 1$). Un área de unas $2$ unidades cuadradas, entre $1$ y $3{,}72$, es razonable.