Matemáticas IIFácil2 pts

Límites y continuidad

Extremadura · 2017 · Junio · Opción B

Enunciado

Calcule, aplicando la regla de l'Hôpital, el límite

\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(2x) + (1 - x)^2 - 1}{\ln(\cos x)}.

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Resultado

\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(2x) + (1 - x)^2 - 1}{\ln(\cos x)} = -2}

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Estrategia

Al sustituir

x = 0

numerador y denominador se anulan: indeterminación

\frac{0}{0}

, que es justo el caso de la regla de l'Hôpital. Derivamos numerador y denominador por separado (con la regla de la cadena en

\operatorname{sen}(2x)

(1 - x)^2

\ln(\cos x)

). Como tras la primera derivación vuelve a salir

\frac{0}{0}

, la aplicamos una segunda vez.

Desarrollo

Tipo de indeterminación. En

x = 0

\operatorname{sen}(0) + (1 - 0)^2 - 1 = 0 + 1 - 1 = 0, \qquad \ln(\cos 0) = \ln 1 = 0

Es una indeterminación

\frac{0}{0}

. Numerador y denominador son derivables en un entorno de

0

(allí

\cos x > 0

, así que el logaritmo está definido), de modo que podemos aplicar la regla de l'Hôpital.

Primera aplicación. Derivamos por separado:

\bigl(\operatorname{sen}(2x) + (1 - x)^2 - 1\bigr)' = 2\cos(2x) + 2(1 - x)\cdot(-1) = 2\cos(2x) - 2 + 2x

\bigl(\ln(\cos x)\bigr)' = \frac{-\operatorname{sen} x}{\cos x} = -\operatorname{tg} x

\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(2x) + (1 - x)^2 - 1}{\ln(\cos x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2\cos(2x) - 2 + 2x}{-\operatorname{tg} x}

x = 0

: el numerador vale

2 - 2 + 0 = 0

y el denominador,

-\operatorname{tg} 0 = 0

. Sigue siendo

\frac{0}{0}

.

Segunda aplicación. Volvemos a derivar:

\bigl(2\cos(2x) - 2 + 2x\bigr)' = -4\operatorname{sen}(2x) + 2, \qquad \bigl(-\operatorname{tg} x\bigr)' = -\frac{1}{\cos^2 x}

\lim_{x \to 0} \frac{2\cos(2x) - 2 + 2x}{-\operatorname{tg} x} = \lim_{x \to 0} \frac{-4\operatorname{sen}(2x) + 2}{-\dfrac{1}{\cos^2 x}} = \frac{0 + 2}{-1} = -2

Por tanto

\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(2x) + (1 - x)^2 - 1}{\ln(\cos x)} = -2

Comprobación con infinitésimos (cerca de

0

\operatorname{sen}(2x) \approx 2x

(1 - x)^2 - 1 = -2x + x^2

, así que el numerador se comporta como

x^2

; y

\ln(\cos x) \approx \ln\bigl(1 - \frac{x^2}{2}\bigr) \approx -\frac{x^2}{2}

. El cociente tiende a

\dfrac{x^2}{-x^2/2} = -2

✓.

Consejo

L'Hôpital deriva numerador y denominador por separado, no el cociente con la regla del cociente. Y antes de cada aplicación hay que comprobar (y escribir) que la indeterminación sigue siendo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ .

Cuidado con la regla de la cadena: $(1 - x)^2$ se deriva como $2(1 - x)\cdot(-1)$ , y es fácil olvidar ese $-1$ ; la derivada de $\ln(\cos x)$ es $-\operatorname{tg} x$ .