Áreas, volúmenes y distancias

a) Director de $r$. Los planos que la definen tienen normales $\vec{n}_1 = (3, 2, 0)$ y $\vec{n}_2 = (1, 0, -2)$:$$\vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -2 \end{vmatrix} = \vec{i}\,(-4 - 0) - \vec{j}\,(-6 - 0) + \vec{k}\,(0 - 2) = (-4, 6, -2)$$Dividiendo entre 2, tomamos $\vec{u}_r = (-2, 3, -1)$.

Director de $s$. De la ecuación continua, $\vec{u}_s = (-2, a, -1)$, y un punto de $s$ es $Q(-1, 3, 1)$.

Condición de paralelismo. Los directores deben ser proporcionales:$$\frac{-2}{-2} = \frac{a}{3} = \frac{-1}{-1} \;\Longrightarrow\; \frac{a}{3} = 1 \;\Longrightarrow\; a = 3$$Con $a = 3$ los directores coinciden, $\vec{u}_s = \vec{u}_r = (-2, 3, -1)$. Falta ver que las rectas no son la misma: si $Q(-1, 3, 1)$ estuviera en $r$, cumpliría la primera ecuación, pero$$3\cdot(-1) + 2\cdot 3 = 3 \neq 0$$Así que $Q \notin r$ y, para $a = 3$, las rectas son paralelas (no coincidentes). Para cualquier otro valor de $a$ los directores no son proporcionales y las rectas no pueden ser paralelas.

b) Necesitamos un punto de $r$. Dando a $z$ el valor $4$ en sus ecuaciones: $x = 2z - 8 = 0$ y $3\cdot 0 + 2y = 0$, de modo que $y = 0$. Un punto de $r$ es $P(0, 0, 4)$ (cumple $3\cdot 0 + 2\cdot 0 = 0$ y $0 - 8 = -8$ ✓).$$\overrightarrow{PQ} = Q - P = (-1, 3, -3)$$$$\overrightarrow{PQ} \times \vec{u}_r = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 3 & -3 \\ -2 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \vec{i}\,(-3 + 9) - \vec{j}\,(1 - 6) + \vec{k}\,(-3 + 6) = (6, 5, 3)$$$$|\overrightarrow{PQ} \times \vec{u}_r| = \sqrt{36 + 25 + 9} = \sqrt{70}, \qquad |\vec{u}_r| = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$$$$d(r, s) = d(Q, r) = \frac{\sqrt{70}}{\sqrt{14}} = \sqrt{5} \approx 2{,}24\ \text{u}$$Comprobación por el pie de la perpendicular. Un punto genérico de $r$ es $R(-2\mu,\ 3\mu,\ 4 - \mu)$. El vector $\overrightarrow{RQ} = (-1 + 2\mu,\ 3 - 3\mu,\ -3 + \mu)$ es perpendicular a $\vec{u}_r$ cuando$$-2(-1 + 2\mu) + 3(3 - 3\mu) - (-3 + \mu) = 14 - 14\mu = 0 \;\Longrightarrow\; \mu = 1$$Entonces $\overrightarrow{RQ} = (1, 0, -2)$ y $|\overrightarrow{RQ}| = \sqrt{1 + 0 + 4} = \sqrt{5}$ ✓.