Matrices

a) Producto de una matriz $2 \times 1$ por una $1 \times 2$:$$A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 & 1\cdot(-2) \\ (-1)\cdot 1 & (-1)\cdot(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$Rango. El determinante es$$|A \cdot B| = \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 2 = 0$$así que el rango no es 2. Como la matriz tiene algún elemento no nulo (por ejemplo, el $1$), su rango es al menos 1. Por tanto$$\operatorname{rg}(A \cdot B) = 1$$Se ve también porque la segunda fila es la primera cambiada de signo: $(-1, 2) = -1\cdot(1, -2)$.

b) Llamemos $C = A \cdot B$. El sistema $C\,X = O$ es$$\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \;\Longleftrightarrow\; \left\{\begin{array}{rcrcr} x & - & 2y & = & 0 \\ -x & + & 2y & = & 0 \end{array}\right.$$Clasificación. Es un sistema homogéneo: la columna de términos independientes es nula, así que $\operatorname{rg}(C^*) = \operatorname{rg}(C) = 1$ y siempre es compatible (al menos tiene la solución $x = y = 0$). Como el rango, 1, es menor que el número de incógnitas, 2, por el teorema de Rouché-Frobenius el sistema es compatible indeterminado: infinitas soluciones con un parámetro.

Resolución. Las dos ecuaciones son la misma (la segunda es la primera multiplicada por $-1$). De $x - 2y = 0$, tomando $y = \lambda$:$$x = 2\lambda, \qquad y = \lambda, \qquad \lambda \in \mathbb{R}$$Comprobación. $2\lambda - 2\lambda = 0$ ✓ y $-2\lambda + 2\lambda = 0$ ✓. Con $\lambda = 1$, $X = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ y en efecto $B X = 2 - 2 = 0$, así que $A(BX) = O$.

(Otra forma de verlo: $A \cdot B \cdot X = A\,(B X)$, y $B X = x - 2y$ es un número. Como $A \neq O$, el producto es nulo exactamente cuando $x - 2y = 0$.)