Matemáticas IIMedio2 pts

Integrales

Extremadura · 2017 · Junio · Opción A

Enunciado

Utilizando el cambio de variable

1 + x^2 = t^2

, calcule una primitiva

F(x)

de la función

f(x) = \dfrac{x^3}{\sqrt{1 + x^2}}

que cumpla

F(0) = 0

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{F(x) = \frac{(x^2 - 2)\sqrt{1 + x^2}}{3} + \frac{2}{3}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El cambio

1 + x^2 = t^2

está pensado para quitar la raíz: con

t > 0

\sqrt{1 + x^2} = t

. Diferenciando el cambio se obtiene

x\,dx = t\,dt

, así que conviene partir

x^3\,dx

x^2 \cdot x\,dx

y escribir

x^2 = t^2 - 1

. La integral queda polinómica en

t

. Después se deshace el cambio y se ajusta la constante con

F(0) = 0

Desarrollo

Cambio de variable. Con

t > 0

1 + x^2 = t^2 \;\Longrightarrow\; 2x\,dx = 2t\,dt \;\Longrightarrow\; x\,dx = t\,dt, \qquad x^2 = t^2 - 1, \qquad \sqrt{1 + x^2} = t

Integral en $t$ .

\int \frac{x^3}{\sqrt{1 + x^2}}\,dx = \int \frac{x^2 \cdot x\,dx}{\sqrt{1 + x^2}} = \int \frac{(t^2 - 1)\,t\,dt}{t} = \int (t^2 - 1)\,dt = \frac{t^3}{3} - t + C

Deshacemos el cambio, con

t = \sqrt{1 + x^2}

F(x) = \frac{\bigl(1 + x^2\bigr)^{3/2}}{3} - \sqrt{1 + x^2} + C = \frac{\sqrt{1 + x^2}\,\bigl(1 + x^2 - 3\bigr)}{3} + C = \frac{(x^2 - 2)\sqrt{1 + x^2}}{3} + C

Constante. Imponemos

F(0) = 0

F(0) = \frac{(0 - 2)\cdot 1}{3} + C = -\frac{2}{3} + C = 0 \;\Longrightarrow\; C = \frac{2}{3}

(Es lo mismo que pedir, en la variable

t

, que para

x = 0

, es decir

t = 1

, se cumpla

\frac{1}{3} - 1 + C = 0

F(x) = \frac{(x^2 - 2)\sqrt{1 + x^2} + 2}{3}

Comprobación. Derivamos con la regla del producto:

F'(x) = \frac{1}{3}\left[2x\sqrt{1 + x^2} + (x^2 - 2)\,\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\right] = \frac{2x(1 + x^2) + x^3 - 2x}{3\sqrt{1 + x^2}} = \frac{3x^3}{3\sqrt{1 + x^2}} = \frac{x^3}{\sqrt{1 + x^2}}

que es

f(x)

✓, y

F(0) = \frac{-2 + 2}{3} = 0

✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El cambio no se aplica solo a la función: también al diferencial. Escribe siempre la relación entre $dx$ y $dt$ ( $x\,dx = t\,dt$ ) antes de sustituir, y fíjate en que necesitas separar un factor $x$ de $x^3$ para que aparezca $x\,dx$ .

No te olvides de volver a la variable $x$ y de calcular la constante: piden una primitiva concreta, la que cumple $F(0) = 0$ , y con « $+\,C$ » el ejercicio queda incompleto.