Matemáticas IIFácil2 pts

Derivadas y aplicaciones

Extremadura · 2017 · Junio · Opción A

Enunciado

a) (1,5 puntos) Estudie el dominio de definición, los extremos relativos y las asíntotas de la función

f(x) = x + \frac{1}{x} = \frac{x^2 + 1}{x}.

b) (0,5 puntos) Teniendo en cuenta los datos obtenidos en el apartado anterior, represente, aproximadamente, la gráfica de la función

f(x)

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Resultado

\boxed{\text{a) } \operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R}\setminus\{0\};\ \text{máx. rel. } (-1, -2);\ \text{mín. rel. } (1, 2)}

\boxed{\text{Asíntotas: vertical } x = 0;\ \text{oblicua } y = x;\ \text{sin horizontal}}

\boxed{\text{b) Dos ramas simétricas respecto del origen, entre } x = 0 \text{ e } y = x}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es un estudio de función de manual, en tres pasos:

Dominio: solo hay que quitar el punto que anula el denominador.
Extremos: se buscan los ceros de $f'$ y se decide el tipo con el signo de $f'$ a cada lado (o con $f''$ ).
Asíntotas: vertical donde el denominador se anula, y en el infinito, horizontal u oblicua. La forma $f(x) = x + \frac{1}{x}$ ya delata la oblicua $y = x$ .

Para b) basta con juntar esos datos (más la simetría de la función) y dibujar las dos ramas.

Desarrollo

a) Dominio.

f

es un cociente de polinomios y el denominador solo se anula en

x = 0

\operatorname{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\} = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)

Extremos relativos. Derivamos:

f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}

f'(x) = 0 \iff x^2 - 1 = 0 \iff x = -1 \ \text{o}\ x = 1

El denominador

x^2

es positivo en todo el dominio, así que el signo de

f'

es el de

x^2 - 1

Intervalo	$(-\infty, -1)$	$(-1, 0)$	$(0, 1)$	$(1, +\infty)$
Signo de $f'$	$+$	$-$	$-$	$+$
$f$	crece	decrece	decrece	crece

x = -1

la función pasa de crecer a decrecer: máximo relativo en

(-1, f(-1)) = (-1, -2)

. En

x = 1

pasa de decrecer a crecer: mínimo relativo en

(1, f(1)) = (1, 2)

.

Lo confirma la derivada segunda,

f''(x) = \dfrac{2}{x^3}

f''(-1) = -2 < 0

(máximo) y

f''(1) = 2 > 0

(mínimo).

(Que el máximo,

-2

, quede por debajo del mínimo,

2

, no es ninguna contradicción: son extremos relativos y están en ramas distintas de la gráfica.)

Asíntota vertical. En

x = 0

\lim_{x \to 0^+} \frac{x^2 + 1}{x} = \frac{1}{0^+} = +\infty, \qquad \lim_{x \to 0^-} \frac{x^2 + 1}{x} = \frac{1}{0^-} = -\infty

luego

x = 0

es asíntota vertical.

Asíntota horizontal. No tiene, porque

\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 1}{x} = +\infty, \qquad \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 + 1}{x} = -\infty

Asíntota oblicua

y = mx + n

m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 + 1}{x^2} = 1, \qquad n = \lim_{x \to \pm\infty} \bigl(f(x) - x\bigr) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} = 0

La recta

y = x

es asíntota oblicua por los dos lados. Como

f(x) - x = \frac{1}{x}

, la gráfica va por encima de la asíntota cuando

x > 0

y por debajo cuando

x < 0

.

b) Juntamos lo obtenido:

La función es impar: $f(-x) = -x - \frac{1}{x} = -f(x)$ , así que la gráfica es simétrica respecto del origen.
No corta a los ejes: $x = 0$ no está en el dominio y $x^2 + 1 \neq 0$ para todo $x$ .
Para $x > 0$ la función es positiva: baja desde $+\infty$ (pegada al eje $OY$ ) hasta el mínimo $(1, 2)$ y luego sube acercándose a la recta $y = x$ por encima.
Para $x < 0$ es negativa y la rama es la simétrica: sube desde $-\infty$ (pegada a la recta $y = x$ por debajo) hasta el máximo $(-1, -2)$ y luego baja hacia $-\infty$ junto al eje $OY$ .

Algunos valores para afinar el dibujo:

$x$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$
$f(x)$	$\frac{17}{4}$	$\frac{5}{2}$	$2$	$\frac{5}{2}$	$\frac{17}{4}$

y los opuestos para

x

negativos. La gráfica tiene dos ramas en forma de «V» redondeada: la de la derecha en el primer cuadrante, encajada entre el eje

OY

y la recta

y = x

, con el vértice en

(1, 2)

; la de la izquierda, su simétrica en el tercer cuadrante, con el vértice en

(-1, -2)

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Una función racional en la que el grado del numerador supera en uno al del denominador no tiene asíntota horizontal pero sí oblicua: búscala siempre con $m$ y $n$ , y no te quedes en «los límites en el infinito dan infinito».

En el dibujo, la corrección mira que se vean las asíntotas, los extremos y la posición de la curva respecto de la oblicua. Dibuja primero las rectas $x = 0$ e $y = x$ y luego las ramas.