Vectores y ángulos

a) Desarrollando por la primera fila:$$\vec{e} \times \vec{u} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 2 \end{vmatrix} = \vec{i}\,(1\cdot 2 - 0\cdot(-2)) - \vec{j}\,(0\cdot 2 - 0\cdot 3) + \vec{k}\,(0\cdot(-2) - 1\cdot 3)$$$$\vec{e} \times \vec{u} = 2\,\vec{i} + 0\,\vec{j} - 3\,\vec{k} = (2, 0, -3)$$Comprobación: el resultado debe ser perpendicular a los dos factores. $(2, 0, -3)\cdot(0, 1, 0) = 0$ ✓ y $(2, 0, -3)\cdot(3, -2, 2) = 6 + 0 - 6 = 0$ ✓.

b) Producto escalar y módulos:$$\vec{u}\cdot\vec{v} = 3\cdot 0 + (-2)\cdot 1 + 2\cdot 1 = 0$$$$|\vec{u}| = \sqrt{9 + 4 + 4} = \sqrt{17}, \qquad |\vec{v}| = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$$$$\cos\phi = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|} = \frac{0}{\sqrt{17}\cdot\sqrt{2}} = 0 \;\Longrightarrow\; \phi = 90^\circ = \frac{\pi}{2}\ \text{rad}$$Los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son perpendiculares.

c) Calculamos el determinante formado por los tres vectores, desarrollando por la primera fila (solo tiene un elemento no nulo):$$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -1\cdot\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1\cdot(3 - 0) = -3 \neq 0$$Como el determinante no se anula, la matriz tiene rango 3 y ninguno de los tres vectores es combinación lineal de los otros dos: la familia $\{\vec{e}, \vec{u}, \vec{v}\}$ es linealmente independiente (de hecho, es una base de $\mathbb{R}^3$).

Comprobación con el apartado a). Ese determinante es el producto mixto $[\vec{e}, \vec{u}, \vec{v}] = (\vec{e}\times\vec{u})\cdot\vec{v} = (2, 0, -3)\cdot(0, 1, 1) = -3$ ✓. Geométricamente, el paralelepípedo que forman los tres vectores tiene volumen $|-3| = 3 \neq 0$: no están en un mismo plano.