Sistemas de ecuaciones

a) Matriz de coeficientes y matriz ampliada:$$A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & -5 \\ 3 & -3 & 2 \\ 2 & -1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 3 & 0 & -5 & 3 \\ 3 & -3 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & -1 & 1 \end{array}\right)$$Por la regla de Sarrus:$$|A| = 3\cdot(-3)\cdot(-1) + 0\cdot 2\cdot 2 + (-5)\cdot 3\cdot(-1) - \bigl[(-5)\cdot(-3)\cdot 2 + 0\cdot 3\cdot(-1) + 3\cdot 2\cdot(-1)\bigr]$$$$|A| = 9 + 0 + 15 - (30 + 0 - 6) = 24 - 24 = 0$$Luego $\operatorname{rg}(A) < 3$. El menor formado por las dos primeras filas y las columnas de $x$ e $y$ no se anula:$$\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 3 & -3 \end{vmatrix} = -9 \neq 0 \;\Longrightarrow\; \operatorname{rg}(A) = 2$$Para la ampliada orlamos ese menor con la tercera fila y la columna de términos independientes:$$\begin{vmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 3 & -3 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 3\cdot(-3 - 0) - 0 + 3\cdot(-3 + 6) = -9 + 9 = 0$$El otro menor de orden 3 que contiene a ese menor es el propio $|A| = 0$. Por tanto $\operatorname{rg}(A^*) = 2$.

Como $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 2 < 3 =$ número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado: tiene infinitas soluciones, que dependen de un parámetro.

Se ve también a mano: la tercera ecuación es un tercio de la suma de las dos primeras. Sumando la primera y la segunda sale $6x - 3y - 3z = 3$, y dividiendo entre 3, $2x - y - z = 1$, que es la tercera.

b) Nos quedamos con las dos primeras ecuaciones (las del menor no nulo) y tomamos $z$ como parámetro. Para evitar fracciones, llamamos $z = 3\lambda$:$$3x - 5z = 3 \;\Longrightarrow\; x = \frac{3 + 5z}{3} = 1 + 5\lambda$$$$3x - 3y + 2z = 0 \;\Longrightarrow\; y = \frac{3x + 2z}{3} = \frac{3 + 15\lambda + 6\lambda}{3} = 1 + 7\lambda$$Las soluciones son$$x = 1 + 5\lambda, \qquad y = 1 + 7\lambda, \qquad z = 3\lambda, \qquad \lambda \in \mathbb{R}$$Comprobación. Primera: $3(1 + 5\lambda) - 15\lambda = 3$ ✓. Segunda: $3 + 15\lambda - 3 - 21\lambda + 6\lambda = 0$ ✓. Tercera: $2 + 10\lambda - 1 - 7\lambda - 3\lambda = 1$ ✓. Por ejemplo, con $\lambda = 0$ la solución $(1, 1, 0)$ cumple las tres.