Integrales

a) $f(x) = x^2 - 1$ es una parábola que se abre hacia arriba, con vértice en $(0, -1)$ (pues $f'(x) = 2x$ se anula en $x = 0$). Corta al eje $OX$ donde $x^2 - 1 = 0$; en $[0, 2]$, solo en $x = 1$. En el intervalo es creciente ($f'(x) = 2x > 0$ en $(0, 2]$). Una tabla de valores:La gráfica es el arco de parábola que sale de $(0, -1)$, cruza el eje $OX$ en $(1, 0)$ y sube hasta $(2, 3)$: por debajo del eje en $[0, 1)$ y por encima en $(1, 2]$.

b) Por lo visto en a), $f(x) \le 0$ en $[0, 1]$ y $f(x) \ge 0$ en $[1, 2]$. El área es$$\text{Área} = \int_0^1 \big(-f(x)\big)\,dx + \int_1^2 f(x)\,dx = \int_0^1 (1 - x^2)\,dx + \int_1^2 (x^2 - 1)\,dx$$Una primitiva de $x^2 - 1$ es $F(x) = \dfrac{x^3}{3} - x$. Por la regla de Barrow:$$\int_0^1 (1 - x^2)\,dx = \left[x - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$$$\int_1^2 (x^2 - 1)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - x\right]_1^2 = \left(\frac{8}{3} - 2\right) - \left(\frac{1}{3} - 1\right) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$$$$\text{Área} = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2 \ \text{u}^2$$Comprobación. Si se integrara de 0 a 2 sin partir, saldría $\int_0^2 (x^2 - 1)\,dx = \frac{8}{3} - 2 = \frac{2}{3}$, que es $\frac{4}{3} - \frac{2}{3}$: la parte bajo el eje restaría en vez de sumar. Además, el trozo de $[0, 1]$ está dentro del rectángulo de base 1 y altura 1, así que su área, $\frac{2}{3}$, tiene que ser menor que 1, y lo es.