Límites y continuidad

Dominio. Es una función racional; solo falla donde se anula el denominador:$$x^2 + x = x(x + 1) = 0 \iff x = 0 \ \text{o}\ x = -1 \qquad\Longrightarrow\qquad \operatorname{Dom} f = \mathbb{R} \setminus \{-1, 0\}$$Signo. Escribimos$$f(x) = \frac{2x + 1}{x\,(x + 1)}$$El numerador se anula en $x = -\frac{1}{2}$, y el denominador en $x = -1$ y $x = 0$. Estudiamos el signo de cada factor en los intervalos que determinan:Así, $f(x) > 0$ en $\left(-1, -\frac{1}{2}\right) \cup (0, +\infty)$, $f(x) < 0$ en $(-\infty, -1) \cup \left(-\frac{1}{2}, 0\right)$ y $f\left(-\frac{1}{2}\right) = 0$ (único corte con el eje $OX$).

Asíntotas verticales. En $x = -1$ y $x = 0$ el numerador no se anula ($2(-1) + 1 = -1$ y $2\cdot 0 + 1 = 1$), así que el límite es del tipo $\frac{k}{0}$ con $k \neq 0$: infinito. El signo de cada lado sale de la tabla:$$\lim_{x \to -1^-} f(x) = -\infty, \qquad \lim_{x \to -1^+} f(x) = +\infty$$$$\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty, \qquad \lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$$Las rectas $x = -1$ y $x = 0$ son asíntotas verticales.

Asíntotas horizontales. El numerador tiene grado 1 y el denominador grado 2:$$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x + 1}{x^2 + x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{0}{1} = 0$$La recta $y = 0$ es asíntota horizontal en $+\infty$ y en $-\infty$. Por el signo, la gráfica se acerca a ella por encima cuando $x \to +\infty$ y por debajo cuando $x \to -\infty$.

Comprobación. $f(1) = \frac{3}{2} > 0$, $f(-2) = \frac{-3}{2} < 0$, $f\left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{-1/2}{-3/16} = \frac{8}{3} > 0$ y $f\left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{1/2}{-3/16} = -\frac{8}{3} < 0$, como dice la tabla.