Matemáticas IIFácil2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

También trata: Rectas y planos

Extremadura · 2017 · Julio · Opción B

Enunciado

Considere en

\mathbb{R}^3

los puntos

A = (1, 2, 1)

B = (-2, -1, -3)

C = (0, 1, -1)

D = (0, 3, -1)

, y sea

r

la recta que pasa por

A

B

.

a) (1 punto) Calcule ecuaciones paramétricas de

r

.

b) (1,5 puntos) Obtenga un punto

P

de la recta

r

tal que la distancia de

C

P

sea igual a la distancia de

D

P

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ r: \left\{\begin{array}{l} x = 1 - 3\lambda \\ y = 2 - 3\lambda \\ z = 1 - 4\lambda \end{array}\right.}

\boxed{\text{b)}\ P = (1, 2, 1) = A, \qquad d(C, P) = d(D, P) = \sqrt{6}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) basta un punto (

A

) y un vector director (

\overrightarrow{AB}

). En b) escribimos el punto genérico de

r

en función del parámetro,

P(\lambda)

, e imponemos

d(C, P) = d(D, P)

; elevando al cuadrado desaparecen las raíces y queda una ecuación en

\lambda

. Otra forma de verlo: los puntos que equidistan de

C

D

forman el plano mediador del segmento

CD

, y

P

es el corte de

r

con ese plano.

Desarrollo

a) Vector director:

\overrightarrow{AB} = B - A = (-2 - 1,\ -1 - 2,\ -3 - 1) = (-3, -3, -4)

Con el punto

A = (1, 2, 1)

r: \left\{\begin{array}{l} x = 1 - 3\lambda \\ y = 2 - 3\lambda \\ z = 1 - 4\lambda \end{array}\right. \qquad \lambda \in \mathbb{R}

(Con

\lambda = 1

se obtiene

B = (-2, -1, -3)

, así que la recta pasa por los dos puntos.)

b) Un punto cualquiera de

r

P = (1 - 3\lambda,\ 2 - 3\lambda,\ 1 - 4\lambda)

. Imponemos

d(C, P)^2 = d(D, P)^2

\overrightarrow{CP} = (1 - 3\lambda,\ 1 - 3\lambda,\ 2 - 4\lambda), \qquad \overrightarrow{DP} = (1 - 3\lambda,\ -1 - 3\lambda,\ 2 - 4\lambda)

(1 - 3\lambda)^2 + (1 - 3\lambda)^2 + (2 - 4\lambda)^2 = (1 - 3\lambda)^2 + (-1 - 3\lambda)^2 + (2 - 4\lambda)^2

El primer y el tercer sumando son iguales en los dos lados y se van:

(1 - 3\lambda)^2 = (1 + 3\lambda)^2 \iff 1 - 6\lambda + 9\lambda^2 = 1 + 6\lambda + 9\lambda^2 \iff -12\lambda = 0 \iff \lambda = 0

Luego

P = (1, 2, 1)

: el propio punto

A

.

Con el plano mediador. El punto medio de

CD

M = (0, 2, -1)

\overrightarrow{CD} = (0, 2, 0)

; el plano perpendicular a

CD

por

M

2(y - 2) = 0

, es decir,

y = 2

. Cortando con

r

2 - 3\lambda = 2

\lambda = 0

, y otra vez

P = (1, 2, 1)

.

Comprobación.

d(C, P) = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6}, \qquad d(D, P) = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{6} \ \checkmark

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En b) no calcules las raíces: iguala los cuadrados de las distancias. Los términos que coinciden se cancelan y la ecuación queda de primer grado.

Que el punto salga justo $A$ no es un error: $A$ tiene $y = 2$ , igual que el punto medio de $CD$ , así que está en el plano mediador. Si te sale un punto «demasiado bonito», compruébalo calculando las dos distancias.