Matemáticas IIDifícil2,5 pts

Sistemas de ecuaciones

Extremadura · 2017 · Julio · Opción B

Enunciado

Considere el sistema de ecuaciones

\left\{\begin{array}{rcrcrcl} x & + & y & & & = & 0 \\ x & & & - & z & = & 1 \\ ax & + & by & + & cz & = & 1 \end{array}\right.

Obtenga valores de los parámetros

a

b

c

en los siguientes casos:

a) (0,75 puntos) Para que el sistema sea compatible determinado.

b) (1 punto) Para que el sistema sea compatible indeterminado.

c) (0,75 puntos) Para que el sistema sea incompatible.

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Resultado

\boxed{\text{a) S.C.D.} \iff b \neq a + c \quad (\text{p. ej. } a = 0,\ b = 1,\ c = 0)}

\boxed{\text{b) S.C.I.} \iff c = -1,\ b = a - 1 \quad (\text{p. ej. } a = 1,\ b = 0,\ c = -1)}

\boxed{\text{c) S.I.} \iff b = a + c,\ c \neq -1 \quad (\text{p. ej. } a = b = c = 0)}

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Estrategia

Es un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y tres parámetros, todos en la última ecuación. Se discute con el teorema de Rouché-Frobenius: el determinante de la matriz de coeficientes decide cuándo el rango es 3 (compatible determinado). Cuando se anula, el rango de la matriz de coeficientes es 2 (las dos primeras filas son independientes) y hay que mirar el rango de la ampliada con un menor de orden 3 que contenga la columna de términos independientes. Se pide dar valores: daremos la condición general y un ejemplo concreto en cada caso.

Desarrollo

Matriz de coeficientes y ampliada:

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ a & b & c \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 & 1 \\ a & b & c & 1 \end{array}\right)

Desarrollando

|A|

por la primera fila:

|A| = 1\cdot\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ b & c \end{vmatrix} - 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ a & c \end{vmatrix} = (0 + b) - (c + a) = b - a - c

Además, el menor

\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0

(filas 1 y 2, columnas de

x

y

) no depende de los parámetros, así que

\operatorname{rg}(A) \ge 2

siempre.

a) Si

|A| \neq 0

, es decir, si

b \neq a + c

, entonces

\operatorname{rg}(A) = 3 = \operatorname{rg}(A^*) =

número de incógnitas: sistema compatible determinado. Por ejemplo,

a = 0

b = 1

c = 0

(ahí

|A| = 1

).

b) y c) Si

b = a + c

, entonces

|A| = 0

\operatorname{rg}(A) = 2

. Para el rango de

A^*

orlamos el menor anterior con la tercera fila y la columna de términos independientes:

\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ a & b & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot(0 - b) - 1\cdot(1 - a) + 0 = a - b - 1

Con

b = a + c

este menor vale

a - (a + c) - 1 = -c - 1

. (El otro menor de orden 3 que contiene al menor de partida es el propio

|A| = 0

Si $c = -1$ (y por tanto $b = a - 1$ ): el menor es $0$ , $\operatorname{rg}(A^*) = 2 = \operatorname{rg}(A) < 3$ : sistema compatible indeterminado.
Si $c \neq -1$ (con $b = a + c$ ): el menor es distinto de $0$ , $\operatorname{rg}(A^*) = 3 \neq \operatorname{rg}(A) = 2$ : sistema incompatible.

Ejemplos y comprobación.

Compatible indeterminado: $a = 1$ , $b = 0$ , $c = -1$ . La tercera ecuación es $x - z = 1$ , idéntica a la segunda. Quedan $x + y = 0$ y $x - z = 1$ : con $x = \lambda$ , las soluciones son $(\lambda,\ -\lambda,\ \lambda - 1)$ , infinitas.
Incompatible: $a = b = c = 0$ (cumple $b = a + c$ y $c \neq -1$ ). La tercera ecuación queda $0 = 1$ , imposible.

Se entiende bien sin rangos: las dos primeras ecuaciones dan

y = -x

z = x - 1

. Sustituyendo en la tercera,

ax - bx + c(x - 1) = 1 \iff (a - b + c)\,x = 1 + c

que tiene solución única si

a - b + c \neq 0

, infinitas si

a - b + c = 0

1 + c = 0

, y ninguna si

a - b + c = 0

1 + c \neq 0

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Con varios parámetros, no intentes despejar uno: deja la condición como relación entre ellos ( $b = a + c$ ) y sigue discutiendo. Para el rango de $A^*$ usa un menor que contenga la columna de términos independientes y sustituye la relación en él.

Como piden «valores», da la condición general y un ejemplo concreto en cada caso, y comprueba el ejemplo en el sistema: si la tercera ecuación queda $0 = 1$ , es incompatible.