Matemáticas IIFácil1 pts

Probabilidad

Extremadura · 2017 · Julio · Opción A

Enunciado

En un libro con 3 capítulos, el primero consta de 100 páginas y 15 de ellas contienen errores. El segundo capítulo, de 80 páginas, tiene 8 con error, y en el tercero, de 50 páginas, el

80\,\%

no tiene ningún error. Calcule la probabilidad de que una página elegida al azar no esté en el capítulo dos y no tenga errores.

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Resultado

\boxed{P\big(\overline{C_2} \cap \overline{E}\big) = \frac{125}{230} = \frac{25}{46} \approx 0{,}5435}

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Estrategia

La página se elige al azar entre todas las del libro, así que todas tienen la misma probabilidad y podemos aplicar la regla de Laplace: casos favorables entre casos posibles. Basta con contar cuántas páginas no tienen errores en los capítulos 1 y 3 (los que «no son el dos») y dividir por el total. Lo mismo sale con el teorema de la probabilidad total sobre los capítulos.

Desarrollo

Organizamos los datos en una tabla de páginas:

	Con error	Sin error	Total
Capítulo 1	15	85	100
Capítulo 2	8	72	80
Capítulo 3	10	40	50
Total	33	197	230

En el capítulo 3, el

80\,\%

de 50 páginas no tiene errores:

0{,}8\cdot 50 = 40

.

Sea

C_i

= «la página es del capítulo

i

» y

E

= «la página tiene errores». Nos piden

P\big(\overline{C_2} \cap \overline{E}\big)

: páginas sin error de los capítulos 1 o 3.

P\big(\overline{C_2} \cap \overline{E}\big) = \frac{85 + 40}{230} = \frac{125}{230} = \frac{25}{46} \approx 0{,}5435

Con probabilidad total. Como

\overline{C_2} = C_1 \cup C_3

(sucesos incompatibles):

P\big(\overline{C_2} \cap \overline{E}\big) = P(C_1)\,P(\overline{E} \mid C_1) + P(C_3)\,P(\overline{E} \mid C_3) = \frac{100}{230}\cdot 0{,}85 + \frac{50}{230}\cdot 0{,}8 = \frac{85 + 40}{230} = \frac{25}{46}

Consejo

La página se elige entre las 230 del libro, no «primero un capítulo y luego una página»: cada capítulo pesa según su número de páginas ( $\frac{100}{230}$ , $\frac{80}{230}$ , $\frac{50}{230}$ ), no $\frac{1}{3}$ .

Una tabla con las páginas con y sin error de cada capítulo resuelve el ejercicio en dos líneas y evita confundir «sin error del capítulo 3» (40) con «con error» (10).