Matemáticas IIFácil2 pts

Integrales

Extremadura · 2017 · Julio · Opción A

Enunciado

Calcule una primitiva

F(x)

de la función

f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} - \mathrm{e}^{-x} + 2x\cos(x^2)

que cumpla

F(0) = 0

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{F(x) = \ln(x^2 + 1) + \mathrm{e}^{-x} + \operatorname{sen}(x^2) - 1}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los tres sumandos son integrales casi inmediatas: en el primero y en el tercero aparece una función,

x^2 + 1

x^2

, multiplicada por su derivada,

2x

, así que son de la forma

\int \frac{u'}{u}

\int u'\cos u

. El segundo es una exponencial de exponente lineal. Se integra término a término, se añade la constante

C

y se fija con la condición

F(0) = 0

Desarrollo

Integramos sumando a sumando.

Primer sumando. El numerador es la derivada del denominador,

(x^2 + 1)' = 2x

\int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = \ln(x^2 + 1)

(sin valor absoluto, porque

x^2 + 1 > 0

siempre).

Segundo sumando. Como

(\mathrm{e}^{-x})' = -\mathrm{e}^{-x}

\int -\mathrm{e}^{-x}\,dx = \mathrm{e}^{-x}

Tercer sumando. Con el cambio

t = x^2

dt = 2x\,dx

\int 2x\cos(x^2)\,dx = \int \cos t\,dt = \operatorname{sen} t = \operatorname{sen}(x^2)

Juntando, todas las primitivas de

f

son

F(x) = \ln(x^2 + 1) + \mathrm{e}^{-x} + \operatorname{sen}(x^2) + C

Condición $F(0) = 0$ .

F(0) = \ln 1 + \mathrm{e}^{0} + \operatorname{sen} 0 + C = 0 + 1 + 0 + C = 1 + C = 0 \quad\Longrightarrow\quad C = -1

F(x) = \ln(x^2 + 1) + \mathrm{e}^{-x} + \operatorname{sen}(x^2) - 1

Comprobación. Derivando:

F'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} - \mathrm{e}^{-x} + \cos(x^2)\cdot 2x = f(x) \ \checkmark

F(0) = 0 + 1 + 0 - 1 = 0

. ✓

Consejo

El fallo típico está en el signo del segundo sumando: la primitiva de $-\mathrm{e}^{-x}$ es $+\mathrm{e}^{-x}$ , porque al derivar $\mathrm{e}^{-x}$ ya sale un $-1$ de la regla de la cadena.

Y cuidado con la constante: $\mathrm{e}^{0} = 1$ , no 0, así que $C = -1$ y no $C = 0$ . Derivar tu primitiva al final es la comprobación más rápida que existe.