Derivadas y aplicaciones

a) Teorema del valor medio (de Lagrange). Sea $f$ una función continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ y derivable en el intervalo abierto $(a, b)$. Entonces existe al menos un punto $c \in (a, b)$ tal que$$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$Geométricamente: hay algún punto de la gráfica entre $a$ y $b$ en el que la recta tangente es paralela a la cuerda que une $(a, f(a))$ y $(b, f(b))$.

b) Sean $1 < a < b$ y $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$ en $[a, b]$.

Hipótesis. $f$ es un cociente de polinomios cuyo denominador solo se anula en $x = 0$. Como $0 \notin [a, b]$ (porque $a > 1$), $f$ es continua en $[a, b]$ y derivable en $(a, b)$, con$$f'(x) = -\frac{2}{x^3}$$Tesis. Existe $c \in (a, b)$ tal que$$-\frac{2}{c^3} = \frac{\frac{1}{b^2} - \frac{1}{a^2}}{b - a} = \frac{\frac{a^2 - b^2}{a^2b^2}}{b - a} = \frac{(a - b)(a + b)}{a^2b^2\,(b - a)} = -\frac{a + b}{a^2b^2}$$Cambiando de signo y despejando $a + b$:$$\frac{2}{c^3} = \frac{a + b}{a^2b^2} \quad\Longrightarrow\quad a + b = \frac{2a^2b^2}{c^3}$$Conclusión. Como $1 < a < c$, se tiene $c > 1$ y por tanto $c^3 > 1$, es decir, $\dfrac{1}{c^3} < 1$. Al ser $2a^2b^2 > 0$:$$a + b = \frac{2a^2b^2}{c^3} < 2a^2b^2$$que es la desigualdad pedida.

Comprobación con un ejemplo. Con $a = 2$ y $b = 3$: $a + b = 5$ y $2a^2b^2 = 2\cdot 4\cdot 9 = 72$, y $5 < 72$. ✓ (El punto del teorema es $c = \sqrt[3]{72/5} \approx 2{,}43$, que efectivamente está entre 2 y 3.)