Rectas y planos

a) Los planos que definen $s$ tienen normales $\vec n_1 = (1, 1, 0)$ y $\vec n_2 = (0, 0, 1)$. El director de $s$ es perpendicular a los dos:$$\vec v_s = \vec n_1 \times \vec n_2 = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (1, -1, 0)$$También se ve dando valores: $(1, 0, 0)$ y $(0, 1, 0)$ cumplen las dos ecuaciones, y su diferencia es $(1, -1, 0)$. Un punto de $s$ es $Q = (1, 0, 0)$.

b) La recta $r$ son los puntos con $x = 0$, $y = 0$ y $z$ libre: pasa por $O = (0, 0, 0)$ con director $\vec u_r = (0, 0, 1)$.

$\Pi_1$ contiene a $r$ (luego pasa por $O$ y contiene la dirección $\vec u_r$) y es paralelo a $s$ (contiene la dirección $\vec v_s$). Su vector normal es$$\vec n_{\Pi_1} = \vec u_r \times \vec v_s = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = (1, 1, 0)$$y, como pasa por el origen,$$\Pi_1:\ x + y = 0$$Comprobamos que $s$ es paralela y no está contenida: $\vec n_{\Pi_1}\cdot\vec v_s = 1 - 1 + 0 = 0$ (dirección paralela) y el punto $Q = (1, 0, 0)$ de $s$ da $1 + 0 = 1 \neq 0$, así que $s$ no está en el plano.

c) Si $\Pi_2$ es perpendicular a $s$, su vector normal es el director de $s$: $\vec n_{\Pi_2} = (1, -1, 0)$. El plano es $x - y + D = 0$, y como contiene a $r$, pasa por $O$: $D = 0$.$$\Pi_2:\ x - y = 0$$Comprobamos que contiene a toda la recta $r$: cualquier punto $(0, 0, \lambda)$ de $r$ cumple $0 - 0 = 0$. ✓