Matemáticas IIFácil2,5 pts

Matrices

También trata: Determinantes

Extremadura · 2017 · Julio · Opción A

Enunciado

a) (0,5 puntos) Calcule el determinante de la matriz

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}.

b) (0,5 puntos) Obtenga el determinante de la matriz

B = \frac{1}{3}A^4

sin calcular previamente

B

.

c) (1,5 puntos) Calcule la matriz inversa de

A

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a)}\ |A| = 3 \qquad \text{b)}\ |B| = \tfrac{1}{27}\cdot 3^4 = 3}

\boxed{\text{c)}\ A^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) basta con desarrollar el determinante: la segunda fila tiene dos ceros, así que conviene hacerlo por ella. En b) se usan dos propiedades de los determinantes:

|A^n| = |A|^n

|kM| = k^n|M|

para una matriz de orden

n

(el número sale elevado al orden, no una sola vez). En c), como

|A| \neq 0

, la matriz es invertible y la inversa se calcula por adjuntos:

A^{-1} = \frac{1}{|A|}\,(\operatorname{Adj} A)^t

Desarrollo

a) Desarrollamos por la segunda fila, que solo tiene un elemento no nulo, el

-1

de la posición

(2,2)

, con signo

(-1)^{2+2} = +1

|A| = (-1)\cdot\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = (-1)\cdot(-1 - 2) = 3

A

es de orden 3. Por las propiedades

|kM| = k^3|M|

(cada una de las tres filas sale multiplicada por

k

) y

|A^4| = |A|^4

|B| = \left|\tfrac{1}{3}A^4\right| = \left(\frac{1}{3}\right)^3|A^4| = \frac{1}{27}\,|A|^4 = \frac{3^4}{3^3} = 3

c) Como

|A| = 3 \neq 0

A

es regular y existe

A^{-1}

. Calculamos los adjuntos

A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}

A_{11} = +\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 1, \qquad A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 0, \qquad A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 2

A_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 0, \qquad A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = -3, \qquad A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 0

A_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 1, \qquad A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0, \qquad A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -1

\operatorname{Adj} A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}, \qquad (\operatorname{Adj} A)^t = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}

A^{-1} = \frac{1}{|A|}\,(\operatorname{Adj} A)^t = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ 0 & -1 & 0 \\ \frac{2}{3} & 0 & -\frac{1}{3} \end{pmatrix}

Comprobación.

A\,A^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} = I

También cuadra con b):

A^2 = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}

, luego

A^4 = \begin{pmatrix} 9 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}

, con

|A^4| = 81 = 3^4

|B| = \frac{81}{27} = 3

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El error más caro de b) es escribir $\left|\frac{1}{3}A^4\right| = \frac{1}{3}|A|^4 = 27$ : el número sale del determinante elevado al orden de la matriz, $\left(\frac{1}{3}\right)^3$ .

En c) no olvides trasponer la matriz de adjuntos ni el signo $(-1)^{i+j}$ de cada uno. Multiplicar $A$ por tu inversa al final cuesta un minuto y te dice si tienes la nota entera.