Matemáticas IIMedio2,25 pts

Integrales

También trata: Límites y continuidad

Castilla y León · 2017 · Junio · Opción B

Enunciado

Sea

f(x) = \left\{\begin{array}{ll} (x-1)^2 & \text{si } x \le 1 \\ a + \ln x & \text{si } x > 1 \end{array}\right.

a) (1 punto) Encontrar

a

para que la función sea continua.

b) (1,25 puntos) Hallar el área de la región delimitada por la gráfica de

f(x)

y las rectas

x = 1

y = 1

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } a = 0}

\boxed{\text{b) } A = \underbrace{\tfrac{2}{3}}_{x \in [0,1]} + \underbrace{(e - 2)}_{x \in [1,e]} = e - \frac{4}{3} \approx 1{,}385 \text{ u}^2}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) cada trozo es continuo en su intervalo (un polinomio y un logaritmo con

x > 1

), así que el único punto dudoso es

x = 1

: igualamos los límites laterales con

f(1)

.

En b), con

a = 0

, la gráfica pasa por

(1, 0)

y corta a la recta

y = 1

en dos puntos, uno a cada lado de

x = 1

. La gráfica, la recta

y = 1

y la recta

x = 1

encierran dos recintos, uno a la izquierda y otro a la derecha de

x = 1

; calculamos cada uno integrando «

1 - f(x)

» (la recta va por encima) y los sumamos. La integral de

\ln x

se hace por partes.

Desarrollo

a) Para

x < 1

f

es un polinomio, y para

x > 1

a + \ln x

es continua (el logaritmo lo es en

(0, +\infty)

). Estudiamos

x = 1

f(1) = (1 - 1)^2 = 0, \qquad \lim_{x \to 1^-} (x - 1)^2 = 0, \qquad \lim_{x \to 1^+} (a + \ln x) = a + \ln 1 = a

f

es continua en

x = 1

si y solo si los dos límites laterales coinciden con

f(1)

a = 0

Con

a = 0

f

es continua en todo

\mathbb{R}

.

b) Con

a = 0

f(x) = \left\{\begin{array}{ll} (x-1)^2 & \text{si } x \le 1 \\ \ln x & \text{si } x > 1 \end{array}\right.

Cortes con $y = 1$ .

Para $x \le 1$ : $(x - 1)^2 = 1 \iff x - 1 = \pm 1 \iff x = 0$ (la otra, $x = 2$ , no está en este trozo).
Para $x > 1$ : $\ln x = 1 \iff x = e$ .

El recinto. La gráfica baja de

(0, 1)

(1, 0)

(rama de parábola) y sube de

(1, 0)

(e, 1)

(logaritmo), siempre por debajo de

y = 1

entre

x = 0

x = e

. La recta

x = 1

divide la zona encerrada en dos recintos:

$R_1$ , entre $x = 0$ y $x = 1$ , limitado por la parábola, la recta $y = 1$ y la recta $x = 1$ .
$R_2$ , entre $x = 1$ y $x = e$ , limitado por el logaritmo, la recta $y = 1$ y la recta $x = 1$ .

Área de $R_1$ .

A_1 = \int_0^1 \bigl(1 - (x - 1)^2\bigr)\,dx = \left[x - \frac{(x - 1)^3}{3}\right]_0^1 = (1 - 0) - \left(0 + \frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3}

Área de $R_2$ . Primero, una primitiva de

\ln x

por partes, con

u = \ln x

dv = dx

(

du = \frac{1}{x}\,dx

v = x

\int \ln x\,dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x}\,dx = x \ln x - x + K

A_2 = \int_1^e (1 - \ln x)\,dx = \Bigl[x - (x \ln x - x)\Bigr]_1^e = \Bigl[2x - x \ln x\Bigr]_1^e = (2e - e) - (2 - 0) = e - 2

Área total:

A = A_1 + A_2 = \frac{2}{3} + e - 2 = e - \frac{4}{3} \approx 1{,}385 \text{ u}^2

Comprobación: derivando,

(2x - x\ln x)' = 2 - \ln x - 1 = 1 - \ln x

✓. Por tamaños:

R_1

es lo que queda del cuadrado

[0,1]\times[0,1]

al quitarle el trozo bajo la parábola, de área

\tfrac13

; y

R_2

cabe en un rectángulo de base

e - 1 \approx 1{,}72

y altura 1, del que ocupa menos de la mitad (

0{,}718

), lo que encaja con que el logaritmo sea cóncavo.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Dibuja siempre el recinto antes de integrar: aquí el dibujo enseña que la recta $x = 1$ deja un recinto a cada lado y que la recta $y = 1$ va por encima en los dos. Si el corrector entiende otra lectura, con las dos áreas por separado tiene todo lo que necesita.

La primitiva de $\ln x$ ( $x\ln x - x$ , por partes) es de las que conviene saberse: sale en casi todos los exámenes.