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Rectas y planos

Castilla y León · 2017 · Junio · Opción B
Enunciado
Dado el plano π≡3x+y+z−2=0\pi \equiv 3x + y + z - 2 = 0 y los puntos P(0,1,1)P(0, 1, 1), Q(2,−1,−3)Q(2, -1, -3) que pertenecen al plano π\pi, determinar la recta del plano π\pi que pasa por el punto medio entre PP y QQ y es perpendicular a la recta que une estos puntos.
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Resultado
  r≡x−11=y−7=z+14⟺{3x+y+z−2=0x−y−2z−3=0  \boxed{\;r \equiv \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{-7} = \frac{z + 1}{4} \quad\Longleftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l} 3x + y + z - 2 = 0 \\ x - y - 2z - 3 = 0 \end{array}\right.\;}
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Estrategia

La recta buscada pasa por el punto medio MM de PP y QQ, así que solo falta su vector director u⃗\vec u. Como la recta está contenida en π\pi, u⃗\vec u es perpendicular al vector normal n⃗π\vec n_\pi; y como es perpendicular a la recta PQPQ, también es perpendicular a PQ→\overrightarrow{PQ}. El producto vectorial n⃗π×PQ→\vec n_\pi \times \overrightarrow{PQ} cumple las dos cosas. (Es la mediatriz del segmento PQPQ dentro del plano π\pi.)
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Desarrollo

Los puntos están en π\pi. PP: 0+1+1−2=00 + 1 + 1 - 2 = 0 ✓. QQ: 6−1−3−2=06 - 1 - 3 - 2 = 0 ✓.

Punto medio:M=(0+22, 1−12, 1−32)=(1,0,−1)M = \left(\frac{0 + 2}{2},\ \frac{1 - 1}{2},\ \frac{1 - 3}{2}\right) = (1, 0, -1)Como PP y QQ están en π\pi, también lo está MM: 3+0−1−2=03 + 0 - 1 - 2 = 0 ✓.

Vectores.PQ→=(2,−2,−4)∥(1,−1,−2),n⃗π=(3,1,1)\overrightarrow{PQ} = (2, -2, -4) \parallel (1, -1, -2), \qquad \vec n_\pi = (3, 1, 1)Vector director. La recta rr buscada cumple:
  • r⊂π  ⟹  u⃗⊥n⃗πr \subset \pi \;\Longrightarrow\; \vec u \perp \vec n_\pi.
  • r⊥PQ  ⟹  u⃗⊥PQ→r \perp PQ \;\Longrightarrow\; \vec u \perp \overrightarrow{PQ}.
u⃗=n⃗π×(1,−1,−2)=∣i⃗j⃗k⃗3111−1−2∣=(−2+1,  1+6,  −3−1)=(−1,7,−4)\vec u = \vec n_\pi \times (1, -1, -2) = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 3 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -2 \end{vmatrix} = \bigl(-2 + 1,\; 1 + 6,\; -3 - 1\bigr) = (-1, 7, -4)Tomamos u⃗=(1,−7,4)\vec u = (1, -7, 4), proporcional.

Comprobación: u⃗⋅n⃗π=3−7+4=0\vec u \cdot \vec n_\pi = 3 - 7 + 4 = 0 ✓ y u⃗⋅(1,−1,−2)=1+7−8=0\vec u \cdot (1, -1, -2) = 1 + 7 - 8 = 0 ✓. Como además M∈πM \in \pi, la recta entera está en π\pi.

Ecuación de la recta, por M(1,0,−1)M(1, 0, -1) con dirección (1,−7,4)(1, -7, 4):r≡x−11=y−7=z+14r \equiv \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{-7} = \frac{z + 1}{4}Otra forma. Los puntos que equidistan de PP y QQ forman el plano mediador, perpendicular a PQ→\overrightarrow{PQ} por MM: (x−1)−y−2(z+1)=0(x - 1) - y - 2(z + 1) = 0, es decir, x−y−2z−3=0x - y - 2z - 3 = 0. La recta pedida es su corte con π\pi:r≡{3x+y+z−2=0x−y−2z−3=0r \equiv \left\{\begin{array}{l} 3x + y + z - 2 = 0 \\ x - y - 2z - 3 = 0 \end{array}\right.y efectivamente un punto de la continua, (2,−7,3)(2, -7, 3) (con t=1t = 1), cumple las dos: 6−7+3−2=06 - 7 + 3 - 2 = 0 y 2+7−6−3=02 + 7 - 6 - 3 = 0 ✓.
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Consejo

«Perpendicular a la recta PQPQ» no basta para fijar la dirección en el espacio: hay infinitas perpendiculares por MM. Es la condición «contenida en π\pi» la que la determina, y por eso el producto vectorial lleva el vector normal del plano.

Comprueba al final que el director es perpendicular a n⃗π\vec n_\pi y a PQ→\overrightarrow{PQ}: dos productos escalares nulos y ya está.
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