Sistemas de ecuaciones

a) Matriz de coeficientes y ampliada:$$A = \begin{pmatrix} 1 & \lambda & \lambda \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & \lambda & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 2 \end{array}\right)$$Desarrollamos $|A|$ por la primera fila:$$|A| = 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} - \lambda\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} + \lambda\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 3\lambda + \lambda = 2 - 2\lambda$$$$|A| = 0 \iff 2 - 2\lambda = 0 \iff \lambda = 1$$Caso $\lambda \neq 1$. $|A| \neq 0$, luego $\operatorname{rg}(A) = 3 = \operatorname{rg}(A^*) =$ número de incógnitas: sistema compatible determinado (solución única).

Caso $\lambda = 1$. El sistema queda$$\left\{\begin{array}{l} x + y + z = 1 \\ x + y + z = 1 \\ x + 2y + 4z = 2 \end{array}\right.$$Las dos primeras ecuaciones son iguales. El menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$ (filas 2 y 3, columnas de $x$ e $y$) y $|A| = 0$ dan $\operatorname{rg}(A) = 2$. En $A^*$ las filas 1 y 2 son idénticas, así que todo menor de orden 3 tiene dos filas iguales y vale $0$: $\operatorname{rg}(A^*) = 2$.

$\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 2 < 3$: sistema compatible indeterminado (infinitas soluciones, con un parámetro).

b) Con $\lambda = 1$ nos quedamos con dos ecuaciones independientes:$$\left\{\begin{array}{l} x + y + z = 1 \\ x + 2y + 4z = 2 \end{array}\right.$$Restando la primera a la segunda, $y + 3z = 1$. Tomamos $z = t$ como parámetro:$$y = 1 - 3t, \qquad x = 1 - y - z = 1 - (1 - 3t) - t = 2t$$Comprobación: primera ecuación, $2t + (1 - 3t) + t = 1$ ✓; tercera, $2t + 2(1 - 3t) + 4t = 2$ ✓ (la segunda es la primera).