Derivadas y aplicaciones

a) El punto de tangencia:$$f(1) = 4e^{0} = 4$$La derivada (la de $e^{x-1}$ es ella misma, porque la derivada de $x - 1$ es $1$):$$f'(x) = 4e^{x-1} \;\Longrightarrow\; f'(1) = 4$$Recta tangente en $(1, 4)$ con pendiente $4$:$$y - 4 = 4(x - 1) \;\Longrightarrow\; y = 4x$$Curiosamente, la tangente pasa por el origen.

b) Puntos de corte de $y = x^3$ y $y = 4x$:$$x^3 = 4x \iff x^3 - 4x = 0 \iff x(x^2 - 4) = 0 \iff x = 0,\ x = 2,\ x = -2$$En el primer cuadrante ($x \ge 0$, $y \ge 0$) el recinto queda entre $x = 0$ y $x = 2$, de $(0,0)$ a $(2, 8)$. Para ver qué gráfica va por encima, probamos un punto intermedio, $x = 1$: la recta da $4$ y la cúbica $1$. Así que en $[0, 2]$ la recta va por encima ($4x - x^3 = x(2 - x)(2 + x) \ge 0$ ahí).$$\text{Área} = \int_0^2 \bigl(4x - x^3\bigr)\,dx = \left[2x^2 - \frac{x^4}{4}\right]_0^2 = \left(8 - \frac{16}{4}\right) - 0 = 8 - 4 = 4$$Comprobación: derivando la primitiva, $\bigl(2x^2 - \tfrac{x^4}{4}\bigr)' = 4x - x^3$ ✓. Además el recinto cabe en el triángulo de vértices $(0,0)$, $(2,0)$ y $(2,8)$, de área $8$, y deja fuera la parte bajo la cúbica, de área $\int_0^2 x^3\,dx = 4$: $8 - 4 = 4$ ✓.