Límites y continuidad

a) Teorema de Bolzano. Si $f$ es una función continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ y $f(a)$ y $f(b)$ tienen signos distintos (es decir, $f(a)\cdot f(b) < 0$), entonces existe al menos un $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$.

Interpretación geométrica. La gráfica de $f$ en $[a, b]$ es una curva sin saltos que une el punto $(a, f(a))$ con el punto $(b, f(b))$, uno por debajo y otro por encima del eje $OX$ (o al revés). Una curva así no puede pasar de un lado al otro sin cortar al eje de abscisas al menos una vez, en un punto $(c, 0)$ con $a < c < b$. El teorema asegura que hay corte, pero no dice cuántos hay ni dónde están exactamente.

b) Evaluamos $P$ en algunos valores sencillos:$$P(0) = 0 + 0 - 1 = -1 < 0, \qquad P(1) = 1 + 1 - 1 = 1 > 0$$Comprobamos las hipótesis de Bolzano en $[0, 1]$:

• $P$ es un polinomio, luego es continua en todo $\mathbb{R}$ y, en particular, en $[0, 1]$.
• $P(0) = -1 < 0$ y $P(1) = 1 > 0$: signos distintos.

Por el teorema de Bolzano existe al menos un $c \in (0, 1)$ con $P(c) = 0$: $P$ tiene al menos una raíz en $(0, 1)$.

Se puede afinar más: $P\!\left(\tfrac12\right) = \tfrac{1}{64} + \tfrac{1}{16} - 1 = -\tfrac{59}{64} < 0$, así que la raíz está incluso en $\left(\tfrac12, 1\right)$ (numéricamente, $c \approx 0{,}869$). Y como $P$ es par ($P(-x) = P(x)$), también hay una raíz en $(-1, 0)$; cualquiera de estos intervalos es una respuesta válida.