Matemáticas IIFácil2,25 pts

Rectas y planos

Castilla y León · 2017 · Junio · Opción A

Enunciado

Determinar la recta

r

que es paralela al plano

\pi \equiv x - y - z = 0

y que corta perpendicularmente a la recta

s \equiv \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y+3}{2} = \dfrac{z-2}{-4}

en el punto

P(2, -1, -2)

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;r \equiv \frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z + 2}{1}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Para dar una recta basta un punto y un vector director. El punto es

P

, porque

r

corta a

s

precisamente ahí (comprobamos antes que

P

está en

s

). El vector director

\vec u_r

tiene que cumplir dos condiciones: ser perpendicular a

\vec u_s

(porque

r

corta a

s

perpendicularmente) y perpendicular al vector normal de

\pi

(porque

r

es paralela a

\pi

). Un vector perpendicular a dos vectores dados es su producto vectorial.

Desarrollo

Datos. De la ecuación continua de

s

leemos un punto y un vector director:

A_s = (1, -3, 2), \qquad \vec u_s = (1, 2, -4)

y del plano, su vector normal:

\vec n_\pi = (1, -1, -1)

.

$P$ está en $s$ . Sustituyendo

P(2, -1, -2)

en la ecuación continua:

\frac{2-1}{1} = 1, \qquad \frac{-1+3}{2} = 1, \qquad \frac{-2-2}{-4} = 1

Los tres cocientes coinciden, así que

P \in s

✓.

Vector director de $r$ .

$r \perp s \;\Longrightarrow\; \vec u_r \perp \vec u_s$ .
$r \parallel \pi \;\Longrightarrow\; \vec u_r \perp \vec n_\pi$ (la recta va en una dirección contenida en el plano).

Tomamos su producto vectorial:

\vec n_\pi \times \vec u_s = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & -4 \end{vmatrix} = \bigl(4 + 2,\; -1 + 4,\; 2 + 1\bigr) = (6, 3, 3)

Como cualquier vector proporcional sirve, tomamos

\vec u_r = (2, 1, 1)

.

Comprobación de las condiciones:

\vec u_r \cdot \vec u_s = 2 + 2 - 4 = 0 \;✓, \qquad \vec u_r \cdot \vec n_\pi = 2 - 1 - 1 = 0 \;✓

Además

P

no está en

\pi

(

2 + 1 + 2 = 5 \neq 0

), así que

r

es paralela a

\pi

sin estar contenida en él.

Ecuación de $r$ , por

P(2, -1, -2)

con dirección

(2, 1, 1)

r \equiv \frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z + 2}{1}

o en paramétricas,

(x, y, z) = (2 + 2t,\; -1 + t,\; -2 + t)

t \in \mathbb{R}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

«Corta perpendicularmente a $s$ en $P$ » da dos datos a la vez: el punto de $r$ (el propio $P$ ) y una condición sobre su dirección. Comprueba que $P$ está en $s$ ; si no lo estuviera, el enunciado no tendría solución.

«Paralela a un plano» significa vector director perpendicular al normal del plano, no paralelo a él: es el error más habitual en este tipo de ejercicio.