Sean A = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} y B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}. a) (1 punto) Estudiar si A y B tienen inversa y calcularla cuando sea posible. b) (1,25 puntos) Determinar X tal que AX = 2B + I siendo I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Matemáticas IIFácil2,25 pts

Matrices

Castilla y León · 2017 · Junio · Opción A

Enunciado

Sean

A = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}

B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}

.

a) (1 punto) Estudiar si

A

B

tienen inversa y calcularla cuando sea posible.

b) (1,25 puntos) Determinar

X

tal que

AX = 2B + I

siendo

I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

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Resultado

\boxed{\text{a) } |A| = -1:\ A^{-1} = \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ -1 & -1 \end{pmatrix};\quad |B| = 0:\ B \text{ no tiene inversa}}

\boxed{\text{b) } X = A^{-1}(2B + I) = \begin{pmatrix} -1 & -6 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es cero. Calculamos

|A|

|B|

; donde se pueda, la inversa sale de la fórmula de los adjuntos,

M^{-1} = \frac{1}{|M|}\,(\operatorname{Adj} M)^t

, que en una matriz

2\times 2

es intercambiar la diagonal principal y cambiar de signo la otra.

En b), como

A

es invertible, multiplicamos por

A^{-1}

por la izquierda en los dos miembros:

X = A^{-1}(2B + I)

Desarrollo

a) Determinantes:

|A| = \begin{vmatrix} 1 & -4 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = 1\cdot 3 - (-4)(-1) = 3 - 4 = -1 \neq 0

|B| = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1\cdot 1 - (-1)(-1) = 1 - 1 = 0

Por tanto $A$ tiene inversa y $B$ no tiene inversa (es singular: sus dos filas son opuestas).

Adjuntos de

A

A_{11} = 3

A_{12} = -(-1) = 1

A_{21} = -(-4) = 4

A_{22} = 1

. Así

\operatorname{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}, \qquad (\operatorname{Adj} A)^t = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

A^{-1} = \frac{1}{|A|}(\operatorname{Adj} A)^t = \frac{1}{-1}\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}

Comprobación:

A\,A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -3 & -4 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 + 4 & -4 + 4 \\ 3 - 3 & 4 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \;✓

b) Como

|A| \neq 0

, multiplicamos

AX = 2B + I

por

A^{-1}

por la izquierda:

A^{-1}A\,X = A^{-1}(2B + I) \;\Longrightarrow\; X = A^{-1}(2B + I)

Calculamos primero el segundo miembro:

2B + I = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 + 8 & 6 - 12 \\ -3 + 2 & 2 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -6 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}

Comprobación:

AX = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & -6 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 + 4 & -6 + 4 \\ 1 - 3 & 6 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = 2B + I \;✓

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

El producto de matrices no es conmutativo: de $AX = M$ se despeja $X = A^{-1}M$ , con la inversa a la izquierda. Escribir $X = MA^{-1}$ da otra matriz y el apartado entero se pierde.

Antes de calcular una inversa, di que el determinante no es cero: es la justificación que pide el corrector. Y comprueba siempre $A\,A^{-1} = I$ , que cuesta diez segundos.