Matemáticas IIFácil2,25 pts

Límites y continuidad

También trata: Integrales

Castilla y León · 2017 · Septiembre · Opción B

Enunciado

a) (1,25 puntos) Calcular

\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{x e^x - \operatorname{sen} x}{x^2}

.

b) (1 punto) Calcular

\displaystyle\int \ln(x)\,dx

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } \lim_{x\to 0} \frac{x e^x - \operatorname{sen} x}{x^2} = 1}

\boxed{\text{b) } \int \ln x\,dx = x\ln x - x + C}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) sustituir da

\frac{0}{0}

. Aplicamos la regla de L'Hôpital; tras la primera derivación sigue saliendo

\frac{0}{0}

, así que la aplicamos una segunda vez.

En b)

\ln x

no tiene primitiva inmediata, pero sí derivada sencilla: integramos por partes tomando

u = \ln x

dv = dx

, de modo que la nueva integral es inmediata.

Desarrollo

a) Al sustituir

x = 0

\lim_{x\to 0} \frac{x e^x - \operatorname{sen} x}{x^2} = \frac{0\cdot 1 - 0}{0} = \frac{0}{0}

Aplicamos L'Hôpital. La derivada de

x e^x

e^x + x e^x

(regla del producto):

\lim_{x\to 0} \frac{x e^x - \operatorname{sen} x}{x^2} = \lim_{x\to 0} \frac{e^x + x e^x - \cos x}{2x} = \frac{1 + 0 - 1}{0} = \frac{0}{0}

Sigue la indeterminación; aplicamos L'Hôpital otra vez. La derivada de

e^x + x e^x

e^x + e^x + x e^x = 2e^x + x e^x

, y la de

-\cos x

\operatorname{sen} x

\lim_{x\to 0} \frac{e^x + x e^x - \cos x}{2x} = \lim_{x\to 0} \frac{2e^x + x e^x + \operatorname{sen} x}{2} = \frac{2 + 0 + 0}{2} = 1

\lim_{x\to 0} \frac{x e^x - \operatorname{sen} x}{x^2} = 1

(Comprobación con desarrollos:

x e^x = x + x^2 + \dots

\operatorname{sen} x = x - \frac{x^3}{6} + \dots

, luego el numerador es

x^2 + \dots

y el cociente tiende a 1 ✓.)

b) Por partes,

\int u\,dv = uv - \int v\,du

, con

u = \ln x \;\Rightarrow\; du = \frac{1}{x}\,dx, \qquad dv = dx \;\Rightarrow\; v = x

\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int dx = x\ln x - x + C

Comprobación (derivando):

\bigl(x\ln x - x\bigr)' = \ln x + x\cdot\frac{1}{x} - 1 = \ln x

Sale el integrando ✓.

Consejo

Cada vez que apliques L'Hôpital, comprueba antes que sigue habiendo $\frac{0}{0}$ (o $\frac{\infty}{\infty}$ ). Si aplicas la regla sin indeterminación, el resultado es falso.

La integral de $\ln x$ es un clásico: el truco es tomar $dv = dx$ , aunque parezca que «no hay nada» que integrar. No olvides la constante $C$ ni comprobar derivando.