Derivadas y aplicaciones

Dominio. El denominador $x^2 + 2 \geq 2 > 0$ no se anula nunca:$$\operatorname{Dom} f = \mathbb{R}$$Además, $f(-x) = \dfrac{(-x)^2 + 1}{(-x)^2 + 2} = f(x)$: la función es par y su gráfica es simétrica respecto del eje $OY$. Y como el numerador es menor que el denominador, $0 < f(x) < 1$ para todo $x$.

Asíntotas verticales. No tiene: $f$ es continua en todo $\mathbb{R}$ (cociente de polinomios con denominador que no se anula).

Asíntota horizontal.$$\lim_{x\to \pm\infty} \frac{x^2 + 1}{x^2 + 2} = \lim_{x\to \pm\infty} \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{2}{x^2}} = 1$$La recta $y = 1$ es asíntota horizontal por los dos lados. Como $f(x) - 1 = \dfrac{-1}{x^2 + 2} < 0$, la gráfica se acerca a ella por debajo.

Asíntotas oblicuas. No tiene, porque ya tiene horizontal en $\pm\infty$.

Monotonía. Regla del cociente:$$f'(x) = \frac{2x\,(x^2 + 2) - (x^2 + 1)\,2x}{(x^2 + 2)^2} = \frac{2x\,\bigl[(x^2 + 2) - (x^2 + 1)\bigr]}{(x^2 + 2)^2} = \frac{2x}{(x^2 + 2)^2}$$El denominador es siempre positivo, así que el signo de $f'$ es el de $2x$:$f$ es decreciente en $(-\infty, 0)$ y creciente en $(0, +\infty)$.

Extremos relativos. $f'(x) = 0 \iff x = 0$, y en ese punto $f'$ pasa de negativa a positiva: hay un mínimo relativo en $x = 0$, con$$f(0) = \frac{0 + 1}{0 + 2} = \frac{1}{2}$$Mínimo relativo en $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ (que además es absoluto). No hay máximos: $f$ se acerca a 1 sin alcanzarlo.

Esbozo de la gráfica. Con los datos anteriores: la curva corta al eje $OY$ en $\left(0, \frac{1}{2}\right)$, que es su punto más bajo; no corta al eje $OX$ (siempre $f > 0$); es simétrica respecto de $OY$, y a ambos lados sube hacia la asíntota $y = 1$ sin tocarla. Algunos valores: $f(\pm 1) = \frac{2}{3} \approx 0{,}67$, $f(\pm 2) = \frac{5}{6} \approx 0{,}83$, $f(\pm 4) = \frac{17}{18} \approx 0{,}94$. Tiene forma de «valle» suave, con dos puntos de inflexión en $x = \pm\frac{\sqrt{6}}{3} \approx \pm 0{,}82$ (no se piden).