Rectas y planos

a) El vector normal de $\pi \equiv x + y + 2z + 4 = 0$ es$$\vec n_\pi = (1, 1, 2)$$La recta pedida es perpendicular a $\pi$, así que puede tomar $\vec n_\pi$ como vector director. Pasa por $P(2, 3, 4)$:$$r_P:\ (x, y, z) = (2, 3, 4) + \lambda\,(1, 1, 2), \quad \lambda \in \mathbb{R}$$En paramétricas y en forma continua:$$\left\{\begin{array}{l} x = 2 + \lambda \\ y = 3 + \lambda \\ z = 4 + 2\lambda \end{array}\right. \qquad\Longleftrightarrow\qquad \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 4}{2}$$b) Leemos los vectores directores en los denominadores (en $r$, los de $x - 1$ e $y - 2$ valen 1):$$\vec u_r = (1, 1, 2), \qquad \vec u_s = (a, 2, 3)$$Las rectas son perpendiculares si y solo si $\vec u_r \cdot \vec u_s = 0$:$$\vec u_r \cdot \vec u_s = 1\cdot a + 1\cdot 2 + 2\cdot 3 = a + 8 = 0 \;\Longrightarrow\; a = -8$$Además, las dos rectas pasan por el punto $(1, 2, 2)$ (se ve en los numeradores), así que con $a = -8$ no solo son ortogonales: se cortan en ese punto formando un ángulo recto.

Comprobación: $\vec u_s = (-8, 2, 3)$ y $(1, 1, 2)\cdot(-8, 2, 3) = -8 + 2 + 6 = 0$ ✓.