Sistemas de ecuaciones

a) Matriz de coeficientes y ampliada:$$A = \begin{pmatrix} m & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \qquad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} m & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \end{array}\right)$$Como $A$ tiene dos filas, $\operatorname{rg}(A) \leq 2$. El menor formado por las columnas de $y$ y de $z$ no depende de $m$:$$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 1 = 1 \neq 0$$Por tanto, para todo $m \in \mathbb{R}$:$$\operatorname{rg}(A) = 2$$La ampliada también tiene dos filas y contiene ese mismo menor, así que $\operatorname{rg}(A^*) = 2$. Por el teorema de Rouché-Frobenius:$$\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(A^*) = 2 < 3 = \text{número de incógnitas}$$El sistema es compatible indeterminado para cualquier valor de $m$, con $3 - 2 = 1$ grado de libertad (infinitas soluciones dependientes de un parámetro).

Geométricamente: son dos planos con vectores normales $(m, 1, 1)$ y $(1, 1, 2)$, que nunca son proporcionales (las dos últimas coordenadas dan $\frac{1}{1} \neq \frac{1}{2}$). Los planos se cortan siempre en una recta.

(El menor de las columnas de $x$ e $y$, $\begin{vmatrix} m & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = m - 1$, se anula en $m = 1$, pero eso no cambia nada: basta con un menor no nulo para que el rango sea 2.)

b) Con $m = 1$:$$\left\{\begin{array}{l} x + y + z = 1 \\ x + y + 2z = 1 \end{array}\right.$$Restando la primera ecuación a la segunda:$$z = 0$$y entonces $x + y = 1$. Tomamos $y = \lambda$ como parámetro: $x = 1 - \lambda$.$$(x, y, z) = (1 - \lambda,\ \lambda,\ 0), \qquad \lambda \in \mathbb{R}$$Es la recta que pasa por $(1, 0, 0)$ con vector director $(-1, 1, 0)$.

Comprobación: primera ecuación, $(1 - \lambda) + \lambda + 0 = 1$ ✓; segunda, $(1 - \lambda) + \lambda + 2\cdot 0 = 1$ ✓.