Matemáticas IIFácil2,25 pts

Integrales

También trata: Límites y continuidad

Castilla y León · 2017 · Septiembre · Opción A

Enunciado

a) (1 punto) Calcular

\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{e^x - e^{(x^2)}}{x}

.

b) (1,25 puntos) Hallar el área de la región del plano comprendida entre las gráficas de las funciones

f(x) = -x^2

g(x) = x^2 - 2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } \lim_{x\to 0} \frac{e^x - e^{x^2}}{x} = 1}

\boxed{\text{b) Área} = \frac{8}{3}\ \text{u}^2}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a), al sustituir

x = 0

sale

\frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}

: indeterminación. Numerador y denominador son derivables y se anulan en

0

, así que aplicamos la regla de L'Hôpital (con la regla de la cadena para

e^{x^2}

).

En b) el recinto está limitado por dos parábolas: hallamos los puntos de corte igualando

f(x) = g(x)

, vemos qué función va por encima entre ellos y calculamos

\int (\text{arriba} - \text{abajo})\,dx

con la regla de Barrow.

Desarrollo

a) Al sustituir:

\lim_{x\to 0} \frac{e^x - e^{x^2}}{x} = \frac{e^0 - e^0}{0} = \frac{0}{0}

Aplicamos L'Hôpital. La derivada de

e^{x^2}

2x\,e^{x^2}

(regla de la cadena):

\lim_{x\to 0} \frac{e^x - e^{x^2}}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{e^x - 2x\,e^{x^2}}{1} = \frac{1 - 0}{1} = 1

b) Puntos de corte.

-x^2 = x^2 - 2 \iff 2x^2 = 2 \iff x^2 = 1 \iff x = -1 \ \text{o}\ x = 1

Qué función va por encima. En

x = 0

(dentro de

(-1, 1)

f(0) = 0

g(0) = -2

, luego

f \geq g

en todo el intervalo

[-1, 1]

. Es la región entre la parábola

y = -x^2

, abierta hacia abajo con vértice en el origen, y la parábola

y = x^2 - 2

, abierta hacia arriba con vértice en

(0, -2)

f(x) - g(x) = -x^2 - (x^2 - 2) = 2 - 2x^2

Área.

\text{Área} = \int_{-1}^{1} (2 - 2x^2)\,dx = \left[\,2x - \frac{2x^3}{3}\,\right]_{-1}^{1} = \left(2 - \frac{2}{3}\right) - \left(-2 + \frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}

Comprobación: el integrando es par, así que el área es el doble de la de

[0, 1]

2\left[2x - \frac{2x^3}{3}\right]_0^1 = 2\cdot\frac{4}{3} = \frac{8}{3}

✓.

\text{Área} = \frac{8}{3}\ \text{u}^2 \approx 2{,}67\ \text{u}^2

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Antes de aplicar L'Hôpital, escribe la indeterminación $\frac{0}{0}$ : sin ella la regla no se puede usar y el corrector lo exige. Y deriva numerador y denominador por separado, nunca el cociente.

En el área, comprueba qué curva va por encima con un punto intermedio: si restas al revés, la integral sale negativa y un área nunca puede serlo.