Matemáticas IIFácil2,25 pts

Derivadas y aplicaciones

También trata: Límites y continuidad
Castilla y León · 2017 · Septiembre · Opción A
Enunciado
a) (1 punto) Dada la función f(x)={x,si x<0x2+ax,si x≥0f(x) = \left\{\begin{array}{ll} x, & \text{si } x < 0 \\ x^2 + ax, & \text{si } x \geq 0 \end{array}\right., calcular aa para que ff sea derivable en x=0x = 0.

b) (1,25 puntos) Hallar aa, bb y cc para que la función f(x)=ax2+bsen⁡x+cf(x) = ax^2 + b \operatorname{sen} x + c verifique f(0)=0f(0) = 0, f′(0)=1f'(0) = 1 y f′′(0)=2f''(0) = 2.
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Resultado
a) a=1\boxed{\text{a) } a = 1}b) a=1, b=1, c=0  ⟹  f(x)=x2+sen⁡x\boxed{\text{b) } a = 1,\ b = 1,\ c = 0 \;\Longrightarrow\; f(x) = x^2 + \operatorname{sen} x}
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Estrategia

En a), para que una función a trozos sea derivable en el punto de unión tiene que ser continua allí y sus derivadas laterales tienen que coincidir. Cada trozo es un polinomio (derivable), así que basta con comparar límites laterales y derivadas laterales en x=0x = 0.

En b) derivamos dos veces y evaluamos en x=0x = 0: cada condición da una ecuación lineal en aa, bb, cc, y el sistema sale casi resuelto porque sen⁡0=0\operatorname{sen} 0 = 0 y cos⁡0=1\cos 0 = 1.
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Desarrollo

a) Continuidad en x=0x = 0.lim⁡x→0−f(x)=lim⁡x→0−x=0,lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+(x2+ax)=0,f(0)=0\lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-} x = 0, \qquad \lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} (x^2 + ax) = 0, \qquad f(0) = 0Los tres valores coinciden para cualquier aa: ff es continua en x=0x = 0 sea cual sea aa.

Derivadas laterales. Fuera del cero, cada trozo es un polinomio:f′(x)={1,si x<02x+a,si x>0f'(x) = \left\{\begin{array}{ll} 1, & \text{si } x < 0 \\ 2x + a, & \text{si } x > 0 \end{array}\right.Como ff es continua en 00, las derivadas laterales son los límites laterales de f′f':f′(0−)=1,f′(0+)=lim⁡x→0+(2x+a)=af'(0^-) = 1, \qquad f'(0^+) = \lim_{x\to 0^+}(2x + a) = aff es derivable en x=0x = 0 si y solo si f′(0−)=f′(0+)f'(0^-) = f'(0^+):a=1a = 1Con ese valor, f′(0)=1f'(0) = 1. (Se obtiene lo mismo con la definición: lim⁡h→0+h2+ahh=a\lim_{h\to 0^+} \frac{h^2 + ah}{h} = a y lim⁡h→0−hh=1\lim_{h\to 0^-} \frac{h}{h} = 1.)

b) Derivamos:f(x)=ax2+bsen⁡x+c,f′(x)=2ax+bcos⁡x,f′′(x)=2a−bsen⁡xf(x) = ax^2 + b \operatorname{sen} x + c, \qquad f'(x) = 2ax + b\cos x, \qquad f''(x) = 2a - b \operatorname{sen} xImponemos las tres condiciones, con sen⁡0=0\operatorname{sen} 0 = 0 y cos⁡0=1\cos 0 = 1:f(0)=0  ⟹  c=0f(0) = 0 \;\Longrightarrow\; c = 0f′(0)=1  ⟹  b=1f'(0) = 1 \;\Longrightarrow\; b = 1f′′(0)=2  ⟹  2a=2  ⟹  a=1f''(0) = 2 \;\Longrightarrow\; 2a = 2 \;\Longrightarrow\; a = 1La función es f(x)=x2+sen⁡xf(x) = x^2 + \operatorname{sen} x.

Comprobación: f(0)=0+0=0f(0) = 0 + 0 = 0 ✓; f′(x)=2x+cos⁡xf'(x) = 2x + \cos x, f′(0)=1f'(0) = 1 ✓; f′′(x)=2−sen⁡xf''(x) = 2 - \operatorname{sen} x, f′′(0)=2f''(0) = 2 ✓.
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Consejo

En una función a trozos, estudia primero la continuidad: una función que no es continua en un punto no puede ser derivable en él, aunque las derivadas laterales de los trozos coincidan. Aquí la continuidad sale sola, pero hay que decirlo para que el razonamiento esté completo.

En b), cuidado con el signo de la derivada del coseno: (cos⁡x)′=−sen⁡x(\cos x)' = -\operatorname{sen} x.
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