Rectas y planos

a) Vectores directores del plano:$$\overrightarrow{PQ} = (0+1,\ 1+4,\ 3-0) = (1, 5, 3), \qquad \overrightarrow{PR} = (1+1,\ 0+4,\ 3-0) = (2, 4, 3)$$No son proporcionales ($\tfrac{1}{2} \neq \tfrac{5}{4}$), así que los tres puntos no están alineados y determinan un único plano. Un vector normal es su producto vectorial:$$\vec n = \overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR} = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 5 & 3 \\ 2 & 4 & 3 \end{vmatrix} = (15 - 12)\,\vec i - (3 - 6)\,\vec j + (4 - 10)\,\vec k = (3, 3, -6)$$Podemos usar el proporcional $(1, 1, -2)$. El plano es $x + y - 2z + D = 0$, y como pasa por $P(-1,-4,0)$:$$-1 - 4 - 0 + D = 0 \;\Longrightarrow\; D = 5$$$$\pi \equiv x + y - 2z + 5 = 0$$Comprobación: $Q$: $0 + 1 - 6 + 5 = 0$ ✓; $R$: $1 + 0 - 6 + 5 = 0$ ✓.

(Equivalentemente, con el determinante $\begin{vmatrix} x+1 & y+4 & z \\ 1 & 5 & 3 \\ 2 & 4 & 3 \end{vmatrix} = 0$, que desarrollado da $3x + 3y - 6z + 15 = 0$.)

b) El plano del enunciado es justamente el que acabamos de obtener. $S(3, a, 2)$ pertenece a $\pi$ si sus coordenadas verifican la ecuación:$$3 + a - 2\cdot 2 + 5 = 0 \;\Longrightarrow\; a + 4 = 0 \;\Longrightarrow\; a = -4$$Comprobación: $S(3, -4, 2)$: $3 - 4 - 4 + 5 = 0$ ✓.