Matemáticas IIFácil2,25 pts

Matrices

Castilla y León · 2017 · Septiembre · Opción A

Enunciado

a) (0,5 puntos) Sea

M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & a \end{pmatrix}

. Estudiar, en función del parámetro

a

, cuándo

M

posee inversa.

b) (1,75 puntos) Siendo

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}

, calcular

A^2

A^{-1}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\text{a) } M \text{ tiene inversa} \iff a \neq 6}

\boxed{\text{b) } A^2 = \begin{pmatrix} 7 & 16 \\ 24 & 55 \end{pmatrix}, \qquad A^{-1} = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. En a) calculamos

|M|

en función de

a

y vemos para qué valor se anula.

En b),

A

es la matriz

M

con

a = 7

, que no es el valor que la anula, así que sí tiene inversa.

A^2 = A\cdot A

se hace fila por columna, y la inversa con la fórmula de los adjuntos:

A^{-1} = \dfrac{1}{|A|}\,(\operatorname{Adj} A)^t

Desarrollo

a) El determinante de

M

|M| = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & a \end{vmatrix} = a - 6

M

tiene inversa si y solo si

|M| \neq 0

|M| = 0 \iff a = 6

Por tanto,

M

es invertible para todo

a \neq 6

, y para

a = 6

no tiene inversa (sus filas

(1, 2)

(3, 6)

son proporcionales).

b) Producto fila por columna:

A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot 1 + 2\cdot 3 & 1\cdot 2 + 2\cdot 7 \\ 3\cdot 1 + 7\cdot 3 & 3\cdot 2 + 7\cdot 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 16 \\ 24 & 55 \end{pmatrix}

Para la inversa, primero el determinante (es el de a) con

a = 7

|A| = 7 - 6 = 1 \neq 0

luego

A

es invertible. Los adjuntos de cada elemento son

A_{11} = 7, \qquad A_{12} = -3, \qquad A_{21} = -2, \qquad A_{22} = 1

\operatorname{Adj} A = \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad (\operatorname{Adj} A)^t = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}

A^{-1} = \frac{1}{|A|}\,(\operatorname{Adj} A)^t = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}

Comprobación:

A\,A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 7 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 - 6 & -2 + 2 \\ 21 - 21 & -6 + 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I

Da la identidad ✓.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En una matriz $2\times 2$ la inversa sale de un vistazo: se intercambian los elementos de la diagonal principal, se cambia el signo de los otros dos y se divide entre el determinante.

Aun así, termina siempre multiplicando $A\cdot A^{-1}$ : si no da la identidad, hay un error de signo en los adjuntos o has olvidado trasponer. Y recuerda que $A^2$ no es elevar al cuadrado cada elemento: es el producto de matrices.