Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

También trata: Distribución normal

Castilla-La Mancha · 2017 · Junio · Opción B

Enunciado

a) En mi casa dispongo de dos estanterías A y B. En A tengo 20 novelas, 10 ensayos y 10 libros de matemáticas y en la B tengo 12 novelas y 8 libros de matemáticas. Elijo una estantería al azar y de ella, también al azar, un libro. Calcula razonadamente la probabilidad de que:

a1) (0,75 puntos) El libro elegido sea de matemáticas.

a2) (0,5 puntos) Si el libro elegido resultó ser de matemáticas, que fuera de la estantería B.

b) El tiempo de espera en una parada de autobús se distribuye según una distribución normal de media 15 minutos y desviación típica 5 minutos.

b1) (0,75 puntos) Calcula razonadamente la probabilidad de esperar menos de 13 minutos.

b2) (0,5 puntos) ¿Cuántos minutos de espera son superados por el 33 % de los usuarios? Razona la respuesta.

(Se adjunta la tabla de la distribución normal)

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Resultado

\boxed{\text{a1)}\ P(M) = \frac{13}{40} = 0{,}325 \qquad \text{a2)}\ P(B \mid M) = \frac{8}{13} \approx 0{,}6154}

\boxed{\text{b1)}\ P(X < 13) = 0{,}3446 \qquad \text{b2)}\ t = 17{,}2\ \text{min}}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) el experimento tiene dos etapas: primero la estantería (cada una con probabilidad

\frac{1}{2}

) y luego el libro dentro de ella. Es un diagrama de árbol: la probabilidad de «matemáticas» suma las dos ramas (probabilidad total) y la pregunta «sabiendo que es de matemáticas, ¿de qué estantería vino?» es de Bayes. Ojo: no se pueden juntar los 60 libros y aplicar Laplace, porque los de B (que son menos) tienen más probabilidad cada uno.

En b) tipificamos,

Z = \frac{X - 15}{5}

, y usamos la tabla de la

N(0, 1)

. En b1) el valor queda por debajo de la media, así que hay que usar la simetría. En b2) el problema va al revés: conocemos la probabilidad y buscamos el valor en la tabla.

Desarrollo

a) Sucesos:

A

B

= «elijo la estantería A / B»,

M

= «el libro es de matemáticas».

P(A) = P(B) = \frac{1}{2}, \qquad P(M \mid A) = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}, \qquad P(M \mid B) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}

(En A hay

20 + 10 + 10 = 40

libros y en B,

12 + 8 = 20

.)

a1) Probabilidad total:

P(M) = P(A)P(M \mid A) + P(B)P(M \mid B) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5} = \frac{1}{8} + \frac{1}{5} = \frac{13}{40} = 0{,}325

a2) Bayes:

P(B \mid M) = \frac{P(B)P(M \mid B)}{P(M)} = \frac{1/5}{13/40} = \frac{8}{13} \approx 0{,}6154

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b) Sea

X

= «tiempo de espera (min)»,

X \sim N(15, 5)

. Tipificamos con

Z = \dfrac{X - 15}{5} \sim N(0, 1)

.

b1)

P(X < 13) = P\left(Z < \frac{13 - 15}{5}\right) = P(Z < -0{,}4)

Por la simetría de la normal:

P(Z < -0{,}4) = P(Z > 0{,}4) = 1 - P(Z \le 0{,}4) = 1 - 0{,}6554 = 0{,}3446

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b2) Buscamos el tiempo

t

que supera el 33 % de los usuarios, es decir,

P(X > t) = 0{,}33

, o lo que es lo mismo,

P(X \le t) = 0{,}67 \;\Longrightarrow\; P\left(Z \le \frac{t - 15}{5}\right) = 0{,}67

En la tabla,

0{,}6700

aparece exactamente en

z = 0{,}44

. Por tanto

\frac{t - 15}{5} = 0{,}44 \;\Longrightarrow\; t = 15 + 5\cdot 0{,}44 = 17{,}2\ \text{minutos}

Es razonable: como el 33 % es menos de la mitad,

t

tiene que estar por encima de la media.

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Consejo

En a) no sumes los libros de las dos estanterías: $\frac{18}{60} = 0{,}3$ está mal porque la estantería se elige primero y con probabilidad $\frac{1}{2}$ . En b2) «superados por el 33 %» significa que el 33 % espera más que $t$ : busca $0{,}67$ en la tabla, no $0{,}33$ .