Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Áreas, volúmenes y distancias

También trata: Rectas y planos

Castilla-La Mancha · 2017 · Junio · Opción B

Enunciado

a) (1 punto) Encuentra razonadamente la ecuación de la recta, en su forma general o implícita, que contiene a los puntos

P(0, 1, -2)

Q(4, -3, 0)

.

b) (1,5 puntos) Encuentra razonadamente un punto que equidiste de

P

Q

y que pertenezca a la recta

r \equiv \left\{\begin{array}{l} x = 2 + \lambda \\ y = -\lambda \\ z = -5 \end{array}\right. \qquad \lambda \in \mathbb{R}.

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Resultado

\boxed{\text{a)}\ \left\{\begin{array}{l} x + y - 1 = 0 \\ x - 2z - 4 = 0 \end{array}\right.}

\boxed{\text{b)}\ X\left(\frac{7}{2},\ -\frac{3}{2},\ -5\right)}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) el vector

\overrightarrow{PQ}

es un director de la recta. Con un punto y el director escribimos la forma continua y, de sus dos igualdades, salen los dos planos que forman la ecuación implícita (la que pide el enunciado).

En b) tomamos un punto genérico de

r

X(2 + \lambda, -\lambda, -5)

, e imponemos que su distancia a

P

sea igual que su distancia a

Q

. Al elevar al cuadrado, los términos en

\lambda^2

se van y queda una ecuación de primer grado. Otra forma de verlo: los puntos que equidistan de

P

Q

forman el plano mediador del segmento

PQ

, y el punto buscado es el corte de

r

con ese plano.

Desarrollo

a) Director:

\overrightarrow{PQ} = (4, -4, 2)

, o el proporcional más sencillo

\vec{d} = (2, -2, 1)

. Con el punto

P(0, 1, -2)

, la forma continua es

\frac{x}{2} = \frac{y - 1}{-2} = \frac{z + 2}{1}

De la primera igualdad:

-2x = 2(y - 1) \;\Longrightarrow\; x + y - 1 = 0

.

De la primera y la tercera:

x = 2(z + 2) \;\Longrightarrow\; x - 2z - 4 = 0

\text{recta } PQ \equiv \left\{\begin{array}{l} x + y - 1 = 0 \\ x - 2z - 4 = 0 \end{array}\right.

Comprobación:

P

0 + 1 - 1 = 0

0 + 4 - 4 = 0

✓;

Q

4 - 3 - 1 = 0

4 - 0 - 4 = 0

✓.

b) Un punto cualquiera de

r

X(2 + \lambda,\ -\lambda,\ -5)

. Entonces

\overrightarrow{PX} = (2 + \lambda,\ -\lambda - 1,\ -3), \qquad \overrightarrow{QX} = (\lambda - 2,\ -\lambda + 3,\ -5)

Imponemos

d(X, P) = d(X, Q)

, o lo que es lo mismo,

d(X, P)^2 = d(X, Q)^2

(2 + \lambda)^2 + (\lambda + 1)^2 + 9 = (\lambda - 2)^2 + (3 - \lambda)^2 + 25

2\lambda^2 + 6\lambda + 14 = 2\lambda^2 - 10\lambda + 38 \;\Longrightarrow\; 16\lambda = 24 \;\Longrightarrow\; \lambda = \frac{3}{2}

El punto es

X\left(2 + \frac{3}{2},\ -\frac{3}{2},\ -5\right) = \left(\frac{7}{2},\ -\frac{3}{2},\ -5\right)

Comprobación:

d(X, P)^2 = \left(\frac{7}{2}\right)^2 + \left(-\frac{5}{2}\right)^2 + (-3)^2 = \frac{49 + 25 + 36}{4} = \frac{55}{2}

d(X, Q)^2 = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 + (-5)^2 = \frac{1 + 9 + 100}{4} = \frac{55}{2}

✓. Las dos distancias valen

\sqrt{\frac{55}{2}} \approx 5{,}24

u.

Por el plano mediador. El punto medio de

PQ

M(2, -1, -1)

y la normal,

\vec{d} = (2, -2, 1)

2(x - 2) - 2(y + 1) + (z + 1) = 0 \;\Longrightarrow\; 2x - 2y + z - 5 = 0

Sustituyendo el punto genérico de

r

2(2 + \lambda) + 2\lambda - 5 - 5 = 4\lambda - 6 = 0

, y otra vez

\lambda = \frac{3}{2}

✓.

Consejo

Para «un punto de $r$ que cumple algo» usa siempre el punto genérico con el parámetro $\lambda$ : el problema se reduce a una ecuación en $\lambda$ . Trabaja con las distancias al cuadrado para quitarte las raíces, y comprueba al final que las dos distancias coinciden.