Matrices

a) Sumando $2$ a cada elemento de la diagonal de $B$:$$M = 2I_3 + B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$Desarrollando por la segunda columna (solo tiene un elemento no nulo):$$|M| = 1\cdot(-1)^{2+2}\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 1 = 1 \ne 0$$Como $|M| \ne 0$, $2I_3 + B$ sí tiene inversa.

b) Despeje.$$2X + C = A - XB \;\Longrightarrow\; 2X + XB = A - C \;\Longrightarrow\; X(2I_3 + B) = A - C$$(se escribe $2X = X\cdot 2I_3$ para poder sacar $X$ factor común por la izquierda). Como $M = 2I_3 + B$ es invertible, multiplicamos por $M^{-1}$ por la derecha:$$X = (A - C)\,M^{-1}$$Inversa de $M$ por adjuntos. La matriz de adjuntos de $M$ es$$\operatorname{Adj}(M) = \begin{pmatrix} 2 & -4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$(por ejemplo, $M_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 2$, $M_{12} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -4$, $M_{13} = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$). Trasponiendo y dividiendo entre $|M| = 1$:$$M^{-1} = \frac{1}{|M|}\operatorname{Adj}(M)^t = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -4 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$Comprobación: la primera fila de $M$ por las columnas de $M^{-1}$ da $(2 - 1,\ 0,\ -1 + 1) = (1, 0, 0)$ ✓ (y lo mismo con las demás).

Cálculo de $X$.$$A - C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ -1 & -3 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$$$X = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ -1 & -3 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ -4 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -2 \\ -2 + 12 & -3 & 1 - 6 \\ 4 - 8 & 2 & -2 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & -2 \\ 10 & -3 & -5 \\ -4 & 2 & 2 \end{pmatrix}$$Comprobación en la ecuación. Con esta $X$,$$XB = \begin{pmatrix} -6 & 0 & 4 \\ -21 & 3 & 10 \\ 10 & -2 & -4 \end{pmatrix}, \qquad A - XB = \begin{pmatrix} 8 & 1 & -4 \\ 20 & -3 & -10 \\ -9 & 4 & 3 \end{pmatrix}$$y $2X + C$ da la misma matriz ✓.