Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Integrales

También trata: Derivadas y aplicaciones
Castilla-La Mancha · 2017 · Junio · Opción B
Enunciado
Dadas las funciones f(x)=−x2f(x) = -x^2 y g(x)=x2−2x−4g(x) = x^2 - 2x - 4

a) (1,5 puntos) Calcula razonadamente el área del recinto cerrado limitado por sus gráficas.

b) (1 punto) Encuentra razonadamente la ecuación de la recta normal a la gráfica de g(x)g(x) en el punto de abscisa x=−3x = -3.
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Resultado
a) Aˊrea=9 u2\boxed{\text{a)}\ \text{Área} = 9\ \text{u}^2}b) y−11=18(x+3)  ⟺  x−8y+91=0\boxed{\text{b)}\ y - 11 = \frac{1}{8}(x + 3) \iff x - 8y + 91 = 0}
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Estrategia

Son dos parábolas: ff abre hacia abajo con vértice en el origen y gg abre hacia arriba. Se cortan en dos puntos, y entre ellos queda un recinto cerrado con ff por encima. Hallamos los puntos de corte igualando las funciones, comprobamos cuál va arriba y aplicamos la regla de Barrow a «la de arriba menos la de abajo».

Para la normal en b): la recta normal es la perpendicular a la tangente en ese punto, así que su pendiente es −1g′(−3)-\frac{1}{g'(-3)}. Necesitamos el punto (−3,g(−3))(-3, g(-3)) y esa pendiente.
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Desarrollo

a) Puntos de corte.−x2=x2−2x−4  ⟹  2x2−2x−4=0  ⟹  x2−x−2=0  ⟹  x=−1, x=2-x^2 = x^2 - 2x - 4 \;\Longrightarrow\; 2x^2 - 2x - 4 = 0 \;\Longrightarrow\; x^2 - x - 2 = 0 \;\Longrightarrow\; x = -1,\ x = 2Qué función va por encima. En un punto intermedio, x=0x = 0: f(0)=0f(0) = 0 y g(0)=−4g(0) = -4, luego en (−1,2)(-1, 2) es f(x)≥g(x)f(x) \ge g(x). Ademásf(x)−g(x)=−2x2+2x+4f(x) - g(x) = -2x^2 + 2x + 4Área.Aˊrea=∫−12(−2x2+2x+4)dx=[−2x33+x2+4x]−12\text{Área} = \int_{-1}^{2} \left(-2x^2 + 2x + 4\right)dx = \left[-\frac{2x^3}{3} + x^2 + 4x\right]_{-1}^{2}=(−163+4+8)−(23+1−4)=203−(−73)=273=9= \left(-\frac{16}{3} + 4 + 8\right) - \left(\frac{2}{3} + 1 - 4\right) = \frac{20}{3} - \left(-\frac{7}{3}\right) = \frac{27}{3} = 9El área del recinto es 9 u29\ \text{u}^2.
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b) Punto. g(−3)=9+6−4=11g(-3) = 9 + 6 - 4 = 11, así que el punto es (−3,11)(-3, 11).

Pendiente. g′(x)=2x−2g'(x) = 2x - 2, luego la pendiente de la tangente es g′(−3)=−8g'(-3) = -8 y la de la normal, perpendicular a ella,mn=−1g′(−3)=−1−8=18m_n = -\frac{1}{g'(-3)} = -\frac{1}{-8} = \frac{1}{8}Recta normal.y−11=18(x+3)  ⟹  8y−88=x+3  ⟹  x−8y+91=0y - 11 = \frac{1}{8}(x + 3) \;\Longrightarrow\; 8y - 88 = x + 3 \;\Longrightarrow\; x - 8y + 91 = 0Comprobación: (−3,11)(-3, 11) cumple −3−88+91=0-3 - 88 + 91 = 0 ✓.
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Consejo

Antes de integrar, comprueba qué función va arriba: si integras g−fg - f te sale −9-9 y un área nunca es negativa. En la normal, la pendiente es la inversa cambiada de signo de la derivada; un error muy frecuente es dar la tangente (m=−8m = -8) en lugar de la normal.
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