Matemáticas IIFácilProblema · 2,5 pts

Probabilidad

Castilla-La Mancha · 2017 · Junio · Opción A

Enunciado

a) Los operarios A, B y C producen, respectivamente, el 50 %, el 30 % y el 20 % de las resistencias que se utilizan en un laboratorio de electrónica. Resultan defectuosas el 6 % de las resistencias producidas por A, el 5 % de las producidas por B y el 3 % de las producidas por C. Se selecciona al azar una resistencia:

a1) (0,75 puntos) Calcula razonadamente la probabilidad de que sea defectuosa.

a2) (0,5 puntos) Si es defectuosa, calcula razonadamente la probabilidad de que proceda del operario A.

b) Las resistencias se empaquetan al azar en cajas de cinco unidades. Calcula razonadamente la probabilidad de:

b1) (0,75 puntos) Que en una caja haya exactamente tres resistencias fabricadas por B.

b2) (0,5 puntos) Que en una caja haya al menos dos fabricadas por B.

(Se adjunta la tabla de la distribución binomial para

n = 5

)

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Resultado

\boxed{\text{a1)}\ P(D) = 0{,}051 \qquad \text{a2)}\ P(A \mid D) = \frac{10}{17} \approx 0{,}5882}

\boxed{\text{b1)}\ P(X = 3) = 0{,}1323 \qquad \text{b2)}\ P(X \ge 2) = 0{,}4717}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) la resistencia puede venir de tres operarios distintos, que forman una partición: es el esquema típico de diagrama de árbol. La probabilidad de ser defectuosa se obtiene sumando las tres ramas (probabilidad total) y, si ya sabemos que es defectuosa y preguntamos de quién viene, es una pregunta «al revés»: teorema de Bayes.

En b) cambia la pregunta: en cada caja hay 5 resistencias elegidas al azar y cada una es «de B» con probabilidad

0{,}3

, independientemente de las demás. Contar cuántas son de B es una binomial

B(5;\ 0{,}3)

, y sus probabilidades se leen en la tabla que da el examen (columna

p = 0{,}30

Desarrollo

Llamamos

A

B

C

a los sucesos «la resistencia la fabrica A, B o C» y

D

a «es defectuosa». Datos:

P(A) = 0{,}5,\quad P(B) = 0{,}3,\quad P(C) = 0{,}2

P(D \mid A) = 0{,}06,\quad P(D \mid B) = 0{,}05,\quad P(D \mid C) = 0{,}03

a1) Por el teorema de la probabilidad total (

A

B

C

forman un sistema completo de sucesos):

P(D) = P(A)P(D \mid A) + P(B)P(D \mid B) + P(C)P(D \mid C)

P(D) = 0{,}5\cdot 0{,}06 + 0{,}3\cdot 0{,}05 + 0{,}2\cdot 0{,}03 = 0{,}03 + 0{,}015 + 0{,}006 = 0{,}051

a2) Por el teorema de Bayes:

P(A \mid D) = \frac{P(A)P(D \mid A)}{P(D)} = \frac{0{,}03}{0{,}051} = \frac{10}{17} \approx 0{,}5882

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Sea

X

= «número de resistencias fabricadas por B en una caja de 5». Cada resistencia de la caja es de B con probabilidad

p = 0{,}3

, de forma independiente, y hay

n = 5

resistencias, así que

X \sim B(5;\ 0{,}3), \qquad P(X = k) = \binom{5}{k}\, 0{,}3^k\, 0{,}7^{5-k}

b1) En la tabla (

n = 5

k = 3

p = 0{,}30

P(X = 3) = \binom{5}{3}\, 0{,}3^3\, 0{,}7^2 = 10\cdot 0{,}027\cdot 0{,}49 = 0{,}1323

b2) «Al menos dos» es más corto por el contrario:

P(X \ge 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) = 1 - 0{,}1681 - 0{,}3602 = 0{,}4717

(Con la fórmula:

P(X = 0) = 0{,}7^5 = 0{,}16807

P(X = 1) = 5\cdot 0{,}3\cdot 0{,}7^4 = 0{,}36015

, que dan

0{,}47178

; la diferencia en la cuarta cifra es solo el redondeo de la tabla.)

Consejo

En a2) el denominador es $P(D)$ , la probabilidad total de a1), no $P(A)$ : estás condicionando a que sea defectuosa. En b) justifica la binomial (5 pruebas independientes, «ser de B» con $p = 0{,}3$ ) antes de leer la tabla, y usa el suceso contrario para «al menos dos».