Rectas y planos

Elementos de $r$. Punto $A(2, -1, 0)$ y director $\vec{u} = (-1, 2, 0)$.

Elementos de $s$. Normales de los planos: $\vec{n}_1 = (1, -1, 2)$ y $\vec{n}_2 = (1, 0, 1)$. El director es$$\vec{v} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (-1 - 0)\,\vec{i} - (1 - 2)\,\vec{j} + (0 + 1)\,\vec{k} = (-1, 1, 1)$$Un punto: con $z = 0$, la segunda ecuación da $x = -1$ y la primera, $-1 - y + 4 = 0$, es decir, $y = 3$. Punto $B(-1, 3, 0)$ (cumple $-1 - 3 + 0 + 4 = 0$ y $-1 + 0 + 1 = 0$ ✓).

a) Los directores $\vec{u} = (-1, 2, 0)$ y $\vec{v} = (-1, 1, 1)$ no son proporcionales ($\frac{-1}{-1} \ne \frac{2}{1}$), así que $r$ y $s$ no son paralelas ni coincidentes: o se cortan o se cruzan.

Tomamos $\overrightarrow{AB} = B - A = (-3, 4, 0)$ y calculamos$$\det\left(\vec{u}, \vec{v}, \overrightarrow{AB}\right) = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ -3 & 4 & 0 \end{vmatrix}$$Desarrollando por la tercera columna (solo tiene un elemento no nulo, el $1$ de la fila 2):$$= 1\cdot(-1)^{2+3}\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 4 \end{vmatrix} = -(-4 + 6) = -2 \ne 0$$Los tres vectores son linealmente independientes, así que las rectas no están en un mismo plano: $r$ y $s$ se cruzan.

b) El plano $\pi$ pedido es paralelo a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$, luego su normal es$$\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (2 - 0)\,\vec{i} - (-1 - 0)\,\vec{j} + (-1 + 2)\,\vec{k} = (2, 1, 1)$$Plano por $P(2, 0, -1)$ con normal $(2, 1, 1)$:$$2(x - 2) + 1(y - 0) + 1(z + 1) = 0 \;\Longrightarrow\; \pi \equiv 2x + y + z - 3 = 0$$Comprobaciones: $P$: $4 + 0 - 1 - 3 = 0$ ✓; $\vec{n}\cdot\vec{u} = -2 + 2 + 0 = 0$ ✓; $\vec{n}\cdot\vec{v} = -2 + 1 + 1 = 0$ ✓.

Observación. El punto $A(2, -1, 0)$ de $r$ cumple $4 - 1 + 0 - 3 = 0$, así que $r$ está contenida en $\pi$ (es paralela a $\pi$ en sentido amplio: $P$ y $r$ determinan precisamente este plano). En cambio $B(-1, 3, 0)$ da $-2 + 3 + 0 - 3 = -2 \ne 0$: $s$ es paralela a $\pi$ sin estar contenida. En cualquier caso, el plano que pasa por $P$ y tiene las direcciones de $r$ y $s$ es único, y es este.